相加平均と相乗平均、調和平均の関係

相加平均と相乗平均

よく知られた相加平均と相乗平均の関係です。2 数、3 数に関する公式はよく目にすると思います。正の数 $a,b,c$ について
 $$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{a+b}{2}& \ge \sqrt{ab}\text{(2)}& \frac{a+b+c}{2}& \ge \sqrt[3]{abc}\end{array}$$
(1) については $a=b$,　(2) については $a=b=c$ のとき等号成立します。

相加・相乗平均の関係は一般に $n$ 個の数 $a_1,a_2,\cdots a_n$ について成り立つことが知られています。
 $$\begin{array}{}\text{(3)}& \frac{\sum _{i=1}^n{a}_i}{n}\ge {\left[\prod _{i=1}^n{a}_i\right]}^{1/n}\end{array}$$
$a_1=a_2=\cdots =a_n$ のとき等号が成立します。

$\prod$ は $i$ について $1$ から $n$ まで変化させながら $a_i$ を掛けるという記号です。もう少しわかりやすい表記で書くと次のようになります。
 $$\begin{array}{}\text{(4)}& \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}\end{array}$$
【相加・相乗平均の関係の証明】(3) の証明にはマクローリン級数から得られる不等式 $\exp x\ge 1+x$ を用います。ここで、
 $$m=\frac{\sum _{i=1}^n{a}_i}{n},x=\frac{a_i}{m}-1$$
とおくと、
 $$\exp (\frac{a_i}{m}-1)\ge \frac{a_i}{m}$$
が得られます。すべての $i$ について辺々を掛け合わせると
 $$\begin{array}{}\text{(*)}& \exp (\frac{a_1}{m}-1)\cdots \exp (\frac{a_n}{m}-1)\ge \frac{a_1}{m}\cdots \frac{a_n}{m}\end{array}$$
すなわち
 $$\exp (\frac{\sum _{i=1}^n{a}_i}{m}-n)\ge \frac{\prod _{i=1}^n{a}_i}{m^n}$$
が成り立ちます。定義より $\sum a_i/m=n$ なので、
 $$\begin{array}{rl}& m\ge {\left[\prod _{i=1}^n{a}_i\right]}^{1/n}\\ & \sum _{i=1}^n{a}_i\ge n{\left[\prod _{i=1}^n{a}_i\right]}^{1/n}\end{array}$$
となることが示されました。また不等式 $\exp x\ge 1+x$ は $x=0$ のときに等号成立するので、(*) で等号が成立するためには全ての $i$ について
 $$\frac{a_i}{m}-1=0$$
すなわち $a_i=m$ を満たす必要があります。したがって、
 $$a_1=a_2=\cdots =a_n$$
が等号成立の条件となります（証明終）。

相加・相乗平均の関係は有名ですが、さらに相乗平均と調和平均の間に
$$\frac{2}{1/a+1/b}\le \sqrt{ab}$$
の大小関係があることが知られています。

【証明】$1/a$ と $1/b$ について、相加平均と相乗平均の関係より
 $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge 2\sqrt{\frac{1}{ab}}$$
が成り立ちます（等号成立は $a=b$ のとき）。両辺の逆数をとると
 $$\frac{2}{1/a+1/b}\le \sqrt{ab}$$
となります。（証明終）
 
相加平均も含めた大小関係は
 $$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\ge \frac{2}{1/a+1/b}$$
となります。