整数論入門講座

初等整数論入門講座 [目次]

除算アルゴリズムとユークリッドの互除法

 [01] 除算アルゴリズム
 [02] 整数の k 進数展開(進数変換の方法)
 [03] 共通の約数 b をもつ数字の線形結合
 [04] 2 整数の公倍数は、その 2 整数の最小公倍数で割り切れます
 [05] 2 整数の最大公約数は、その 2 整数の公約数で割り切れます
 [06] 2 整数の積は GCD と LCM の積に等しくなります
 [07] ユークリッドの互除法の原理
 [08] 3 整数の最大公約数と最小公倍数
 [09] 小さくない数と大きくない数
 [10] 床関数(ガウス記号)

素数と素因数分解

 [11] 合成数 N は √N 以下の約数をもちます
 [12] 整数 ab が素数 p で割り切れるならば、a, b のいずれかは p で割り切れます
 [13] 1 より大きな整数は有限個の素数の積で表せます
 [14] 素数が無限に存在することの証明
 [15] 互いに素である 2 数の積が平方数である場合の定理
 [16] 素因数分解を用いて GCD と LCM を計算します
 [17] 素因数分解による無理数性の証明

合同式と剰余類

 [18] 整数の合同と不合同
 [19] 同値関係(反射率、対称律、推移律)
 [20] 剰余類(余りによって数を分類します)
 [21] 合同式の加算と減算
 [22] 合同式の乗算とべき乗
 [23] 9 去法と 11 去法
 [24] 整数環のイデアルと剰余環
 [25] 乗算表による 1 次合同方程式の解法
 [27] 合同式の両辺を割ることのできる条件
 [28] ax + by = (a, b) には整数解が存在します
 [29] 1 元 1 次合同方程式の解の個数

整数論的関数

 [30] 乗法的関数の定義
 [31] 約数の個数を数えます
 [32] 約数和と完全数、友愛数
 [33] 約数和と約数の 2 乗和、完全平方数に関する定理
 [34] オイラーの関数
 [35] 約数のオイラーの関数の和
 [36] メビウス関数の定義と性質
 [37] メビウスの反転公式
 [38] 既約剰余系とオイラーの定理
 [39] フェルマーの小定理

位数と原始根

 [40] 位数の定義と基本定理
 [41] p を法として互いに合同でない整数のベキ乗
 [42] xk ≡ 1 (mod p) の根の個数
 [43] 整数のベキ乗の位数
 [44] p-1 の約数に等しい位数が存在します
 [45] 素数の原始根
 [46] 指数(離散対数)
 [47] 指数計算の基本公式

平方剰余と相互法則

 [48] ラグランジュの定理
 [49] ウィルソンの定理
 [50] 2 項合同方程式
 [51] 平方剰余と平方非剰余
 [52] 平方剰余であるための必要十分条件
 [53] 平方剰余同士の積は平方剰余になります
 [54] ルジャンドル記号とオイラーの基準
 [55] ガウスの補題
 [56] 平方剰余の補充法則
 [57] 平方剰余の相互法則
 [58] 平方剰余の問題を解いてみます
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