微分して導関数を求めます

 (より精度の高い数値微分 中心差分公式 も参照してください)

 今回は「 Excel で微分してみよう!」というテーマです。
 紙の上で微分するときは、三角関数なら三角関数の、指数関数なら指数関数の微分公式を使って計算しますね。しかしコンピュータ上で微分を再現するときには、x = a における微分係数を表す
\[f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]
という式を使うと上手く計算できます。ただ、コンピュータでは厳密な極限をとることはできないので、「とても小さな h 」をとることで我慢して近似計算を行うことになります。今回は

f(x) = logx

という関数と、その導関数 f'(x) を並べて表示させてみます。さっそくシートの概観を見てみましょう。

 エクセルで微分

 この図だけで「もうわかったよ」という人は、さっそく自分のエクセルを立ち上げて試してみてください。「まだちょっとわからないところがある」という人は以下の説明に目を通してください。
 

大きな数 h の入力

 セル F2 には h つまり「とても小さな数」を入れます。どのくらいが「とても小さな数」なのかは難しいですが、とりあえず「 1 億分の 1 」ぐらいにしておきます。そこでセル F2 に

=1E-8

と入力しておきましょう。これは 10-8 という数を表しています。
 

セルの名前を定義します

 普段は A5 や G10 などのようにアルファベットと数字でセル番地を指定していますが、実はこの番地に名前をつけることもできます。 F2 を選択した状態で左上のテキストボックスに「 h 」と書きこんで Enter を押して名前を定義しておきます。こうすることで、今後は「 h 」という文字でこのセルを参照することができるようになります。
 

変数 x と f(x), f'(x) のデータ作成

 対数関数ですから、真数条件 x > 0 に注意します。 0.01 から 0.1 までは 0.01 刻みで、それ以降は 0.1 刻みで入力しておきます。底を e とする対数関数は Excel では「 ln 」で指定することに注意して、 B2 には

=ln(A2)

と入れて右下隅のフィルハンドルをダブルクリックして列にデータを埋めます。また C2 には導関数 f'(x) を表す

=(ln(A2+h)-ln(A2))/h

という式を入力して列にデータを埋めます。
 

グラフを描きましょう

 B 列と C 列を選択して [挿入タブ] から [散布図] 、 [平滑線] の順に選択します。縦軸の範囲を -4 ~ 6, 横軸の範囲を 0 ~ 4 あたりに設定してグラフを描くと次のようになります。

 エクセルy=lnxと導関数

 y = f'(x) のグラフは y = 1 / x と非常によく一致します。 ≫ Excel 数学講座

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