数学公式集

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区分求積法 (Quadratures By Parts)

区分求積法と定積分 関数 $f(x)$ は区間 $$ で連続であるとし、$f(x)$ と直線 $x=a,\ x=b$ および $x$ 軸によって囲まれる面積を $S$ とします。    図のように区間 $$ を $n+1$ 個の...
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ペアノの公理 (Peano axioms)

 数学は 自然数 (natural number)   \ を定義することから始まります。自然数の集合を $\mathbb{N}$ と表記し、ある数 $a$ が自然数に属することを $a\in\mathbb{N}$ と表します。  ...
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必要条件と十分条件、必要十分条件(同値)

必要条件と十分条件 $p\Longrightarrow q$ が真であるとき、  $p$ は $q$ であるための 十分条件 (sufficient condition)  $q$ は $p$ であるための 必要条件 (necess...
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ド・モルガンの法則

 条件 $p,\:q$ について 「$p$ かつ $q$」を 論理積 (logical conjunction) とよび、「$p\land q$」と表します。「かつ」は英語の and です。「ともに」と言い換えるとわかりやすいかもしれません...
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命題の真偽・否定・逆・裏・対偶

 $p$ という仮定 (assumption) に対して $q$ という結論 (conclusion) が真 (true) であるのか偽 (false) であるのかの2択で定まるような文章や数式のことを 命題 (proposition) と...
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数学的帰納法の原理と応用

数学的帰納法 次のような漸化式の一般項 $a_n$ を求めてみます。   \&a_{n+1}=2\,a_n+1\quad(n=1,2,\:\cdots)\end{cases}\]  漸化式の解き方を知っている人にとっては簡単な問題です...
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補充法則と相互法則

 定理 F11 を再掲します。  $p$ を奇素数、$(a,\:p)=(b,\:p)=1$ とするとき、 \  一般の正負の整数 $n$ は、$q_1,\:q_2,\:,\cdots$ を奇素数、$s,\:t_1,\:t_2,\:...
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ガウスの補題

ガウスの補題 たとえば、$p=11,\;a=5$ として、  $a$ の $1$ から $(p-1)/2=5$ 倍までの倍数をつくると、   \  これらを $p=11$ で割った余りを並べると   \  さらに $11/2=...
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