論理積と論理和、ド・モルガンの法則



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≫ 挑戦問題 PS-19 が入りました。

 

論理積 Logical conjunction

 条件 $p,\:q$ について 「$p$ かつ $q$」を 論理積 (logical conjunction) とよび、「$p\land q$」と表します。「かつ」は英語の and です。「ともに」と言い換えるとわかりやすいかもしれません。たとえば実数 $x,\:y$ について $x^2+y^2=0$ が成り立つとき、$x$ と $y$ はともに $0$ なので、

\[x^2+y^2=0\;\Longrightarrow\;x=0\:\land\:y=0\]

という命題は真です。$p,\:q$ を満たすものの集合をそれぞれ $P,\:Q$ とすると、$p\land q$ は $P\cap Q$ の要素となります。

 AかつB(合接)のベン図
 

論理和 Logical disjunction

 条件 $p,\:q$ について 「$p$ または $q$」を 論理和 (logical disjunction) とよび、「$p\lor q$」と表します。英語の or に相当しますが、「どちらか一方」ではなく 「少なくとも一方は」 という意味であることに注意してください。たとえば実数 $x,\:y$ が $xy=0$ をみたすとき、$x$ と $y$ の少なくとも一方は $0$ となります:

\[xy=0\;\Longrightarrow\;x=0\:\lor\:y=0\]

 これは $x$ と $y$ のどちらか一方だけが $0$ でもよいし、両方が $0$ であってもよいという意味です。$p,\:q$ を満たすものの集合をそれぞれ $P,\:Q$ とすると、$p\lor q$ は $P\cup Q$ の要素です。

 AまたはB(離接)のベン図
 

ド・モルガンの法則 De Morgan's Laws

 論理積の否定は $P\cap Q$ の補集合の要素となります。

 否定論理積のベン図

 したがって、「$p\land q$」の否定(否定論理積)は「$\bar{p}\lor \bar{q}$」($p$ または $q$)となります。
 
\[\overline{p\land q}\;\Longleftrightarrow\;\bar{p}\lor \bar{q}\tag{1}\]
 論理和の否定は $P\cup Q$ の補集合の要素となります。

 否定論理和

 よって、「$p\lor q$」の否定(否定論理和)は「$\bar{p}\land \bar{q}$」となります。
 
\[\overline{p\lor q}\;\Longleftrightarrow\;\bar{p}\land \bar{q}\tag{2}\]

 (1) と (2) をまとめて ド・モルガンの法則 (De Morgan's Laws) とよびます:

\[\begin{align*}
\overline{p\land q}\;\Longleftrightarrow\;\bar{p}\lor \bar{q}\\[6pt]
\overline{p\lor q}\;\Longleftrightarrow\;\bar{p}\land \bar{q}\end{align*}\]

 

論理積・論理和の例題

 [例題 1] 実数 $a,\:b$ について、次の命題の真偽を判定してください。
\[ab\gt 0\:\land\:a+b\gt 0\;\Longrightarrow\;a\gt 0\:\land\:b\gt 0\]

[解答] $ab\gt 0$ ならば $a$ と $b$ が同符号です。すなわち

「$a\gt 0,\:b\gt 0$」または「$a\lt 0,\:b\lt 0$」

です。一方で $a+b\gt 0$ をみたすには $a,\:b$ のうち少なくとも一方が正でなくてはなりません。したがって「$a\gt 0,\:b\gt 0$」となり、命題は であることがわかります。

 次の問題は 2015 年度センター試験の数学ⅠA で出題された問題を少し手直ししたものです。

 [例題 2] 自然数 $n$ に対する条件 $p_1,\:p_2,\:q_1,\:q_2$ を次のように定めます。

  $p_1$ : $n$ は素数
  $p_2$ : $n+2$ は素数
  $q_1$ : $n+1$ は $5$ の倍数
  $q_2$ : $n+1$ は $6$ の倍数

 $30$ 以下の自然数 $n$ のなかで命題\[p_1\land p_2\:\Longrightarrow\:\bar{q_1}\land q_2\]の反例となる $n$ をすべて求めてください。

[解答] $p_1\land p_2$ は

$n$ と $n+2$ がともに素数

 
を意味します。これは互いに隣り合う素数、すなわち 双子素数 とよばれる組です。$30$ 以下の $n$ で双子素数 $(n,\,n+2)$ の組を並べてみると
 
\[(3,\,5),\:(5,\,7),\:(11,\,13),\:(17,\,19),\:(29,\,31)\]
の $5$ 組となります。一方、$\bar{q_1}\land q_2$ は
 

$n+1$ は $5$ の倍数ではなく、$6$ の倍数

 
となります。双子素数となる $5$ 組の $n+1$ は
 
\[n+1=4,\:6,\:12,\:18,\:30\]
ですから、このうち $6,\:12,\:18$ の $3$ 組は条件を満たしていますが、残りの $n+1=4,\:6$ は条件を満たしません。したがって
 
\[\mathbf{n=3,\:29}\]
が答えとなります。 ≫ 数学事典

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