畳み込み積分

畳み込み積分(Convolution Integral)

　関数 $f(t)$ と $g(t)$ について、
　
\[f(t)*g(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(s)g(t-s)ds\tag{A}\]
によって定義される積分を 畳み込み積分 あるいは 合成積 といいます。* は掛け算ではなく、右辺のような積分を計算するという意味の記号です。畳み込み積分は $s$ についての無限積分なので $t$ の関数となります。また、$f$ と $g$ の順番を入れ替えても計算結果は同じです。すなわち可換則
　
\[f(t)*g(t)=g(t)*f(t)\tag{B}\]
が成り立ちます。

【畳み込み積分が可換であることの証明】畳み込み積分 の定義式
　
\[f(t)*g(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(s)g(t-s)ds\]
において $r=t-s$ とおくと $ds=-dr$ なので、
　
\[\begin{align*}f(t)*g(t)&=\int_{-\infty}^{\infty}f(t-r)g(r)(-dr)\\[6pt]&=\int_{-\infty}^{\infty}g(r)f(t-r)dr=g(t)*f(t)\end{align*}\]
となって畳み込みの可換則が証明されました。
　

畳み込み積分定理

　畳み込み積分 はとてもきれいな形でフーリエ変換されます。

　$f(t)$ と $g(t)$ のフーリエ変換をそれぞれ
　
\[\begin{align*}F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt\\[6pt]G(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}g(t)e^{-i\omega t}dt\end{align*}\]
とすると、畳み込み積分
　
\[f(t)*g(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(s)g(t-s)ds\]
のフーリエ変換は
　
\[\mathcal{F}[f(t)*g(t)]=F(\omega)G(\omega)\tag{C}\]
となります。また $F(\omega)$ と $G(\omega)$ の畳み込み積分を
　
\[F(\omega)*G(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}F(z)G(\omega-z)dz\]
と定義すると、$f(t)g(t)$ のフーリエ変換は
　
\[\mathcal{F}[f(t)g(t)]=\frac{1}{2\pi}F(\omega)*G(\omega)\tag{D}\]となります。(C) と (D) を 畳み込み積分定理 (Convolution Integral theorem) とよびます。

【畳み込み積分定理の証明】畳み込み積分
　
\[f(t)*g(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(s)g(t-s)ds\]
をフーリエ変換すると
　
\[\begin{align*}\mathcal{F}[f*g]&=\int_{-\infty}^{\infty}\left[ \int_{-\infty}^{\infty}f(s)g(t-s)ds\right]e^{-i\omega t}dt\\[6pt]&=\int_{-\infty}^{\infty}f(s)\left[ \int_{-\infty}^{\infty}g(t-s)e^{-i\omega(t-s)}dt\right]e^{-i\omega s}ds\\[6pt]\end{align*}\]
　ここで $r=t-s$ とおくと、$dt=dr$ なので
　
\[\begin{align*}\mathcal{F}[f*g]&=\int_{-\infty}^{\infty}f(s)\left[ \int_{-\infty}^{\infty}g(r)e^{-i\omega r}dr\right]e^{-i\omega s}ds\\[6pt]&=\int_{-\infty}^{\infty}f(s)G(\omega)ds=F(\omega)*G(\omega)\end{align*}\]
となって (C) が証明されました。(D) も同じように証明できるので、ここでは省略します。