数学公式集

数学公式集

サイクロイド曲線の方程式・弧長・面積

サイクロイド曲線 (擺線) 半径 $a$ の円が定直線上を滑らないで転がるとき、この回転円の定点 $P$ が描く曲線の軌跡を サイクロイド曲線 (cycloid) あるいは擺線(はいせん) とよびます。サイクロイド曲線はトロコイド(余擺線)...
数学公式集

アステロイド曲線

アステロイド曲線 アステロイド曲線 (asteroid) はギリシア語の「星のような形」に由来する図形で、星芒形あるいは星形ともよばれます。また4つの尖点を持つことから、四尖点形 (tetracuspid) の名称でよばれることもあります。...
数学公式集

素数の原始根

素数の原始根 位数について復習しておきます。位数とは   \ となるような最小の正整数 $k$ であり、   \ と表しました。ここで素数 $p$ についてはフェルマーの小定理   \ が成り立っています。このとき、もし ...
数学公式集

位数 (order)

 新しい章に入りました。今回からは位数や原始根について調べていきます。 位数の定義 $a^k$ を $7$ で割ったときの余りを並べた表を再掲します。    フェルマーの小定理 によれば、   \ が成り立ちます(表では...
数学公式集

フェルマーの小定理

フェルマーの小定理 $7$ を法とする整数 $a$ のベキ乗、すなわち   \ なる $x$ を計算して表に並べてみます。    $k$ が $6$ のところで $1$ が揃っています。つまり   \ が成り立ってい...
数学公式集

既約剰余系

既約剰余系 $m$ を法とする剰余系の1つを   \ とします。この集合の要素の中から $m$ と互いに素であるものだけを集めた集合を $m$ を法とする 既約剰余系 (irreducible residue system) といいま...
数学公式集

メビウス関数 (Mobius function)

メビウス関数の定義 任意の自然数 $n$ の約数すべてにわたって和をとったときに $0$ になるような関数 $f(n)$ があれば、数論にとって非常に有用な関数となります。1831 年、メビウスの輪で有名なドイツの数学者メビウス (Augu...
数学公式集

オイラー関数

 今回は数論の中でも極めて重要な役割を担う オイラー関数 (オイラーのφ関数) について解説します。 オイラー関数 (オイラーのφ関数) 正整数 $n$ と互いに素な $n$ 以下の正整数の個数を $\varphi (n)$ と書き、これ...
タイトルとURLをコピーしました