数学公式集

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円の面積と周長

円周率の定義と近似分数 直径 $d$ の円における周の長さ $L$ とするとき、$L$ と $d$ の比を円周率と定義して、ギリシャ文字 $\pi$ で表します:   \  すなわち、直径 $1$ をもつ円周の長さが $\pi$ です...
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オイラーの基準(判定条件)

ルジャンドル記号 平方剰余/平方非剰余であることを示すルジャンドル記号を次のように定めます。   $p$ を奇素数、$(a,\:p)=1$ とするとき   $\displaystyle\left(\frac{a}{p}\right)...
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扇形の弧の長さと面積

扇型 Circular Sector 円の中心 $O$ から円周上の $2$ 点 $P,\:Q$ に引いた $2$ 本の線分 $OP,\:OQ$ と、円弧 $PQ$ に囲まれた図形を 扇形 (circular sector) とよびます。$...
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平方剰余と平方非剰余

平方剰余と平方非剰余 完全平方数   \ を 3 で割った余りを並べてみると ......   \ というように $1,\;1,\;0$ が周期的に並びます。つまり、どのような平方数も $3$ で割ったときの余りは $0$ か ...
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2 項合同方程式が解をもつ条件

2 項合同方程式が解をもつ条件① 今回は次のような 2 項合同方程式   \ を解いてみます。 $p$ を素数、$n$ を正整数、$g$ を $p$ の原始根の1つとするとき \が解をもつための必要十分条件は \であり、その個...
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ウィルソンの定理

 今回は正整数が素数であるための条件である ウィルソンの定理 を証明しますが、その前に少し準備をします。$m$ を合成数として、$(m-1)\,!$ を $m$ で割ったときの余り   \ を考えてみます。たとえば $n=8$ のとき...
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ラグランジュの定理

 新しい章に入ります。この章では主に平方剰余を扱いますが、その準備として $n$ 次合同方程式を定義し、ラグランジュの定理 を証明しておきます。 $n$ 次合同方程式 数論における $n$ 次方程式を次のように定義します。 $n$ を...
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離散対数 Ind

離散対数Ind $p=7$ を法とするとき、$p-1=6$ の約数   \ のうち、$p-1=6$ 乗して初めて $1$ と合同になる数は $3$ と $5$ でした。つまり $7$ の原始根は $g=3,\;5$ です。そこで、たと...
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