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サイクロイド曲線の方程式・弧長・面積

サイクロイド曲線(擺線)

半径 $a$ の円が定直線上を滑らないで転がるとき、この回転円の定点 $P$ が描く曲線の軌跡を サイクロイド曲線(cycloid) あるいは擺線(はいせん) とよびます。サイクロイド曲線はトロコイド(余擺線)とよばれる曲線の一種です。

エクセルで描いたサイクロイド曲線

サイクロイド曲線は $t$ を媒介変数として
\[x=a\,(t-\sin t),\:\:y=a\,(1-\cos t)\quad (a\gt 0)\]
という方程式で表すことができます。媒介変数 $t$ に応じて $x,\:\:y$ は
\[\begin{align*}t\::\:0\quad&\Longrightarrow\quad\pi\quad\Longrightarrow\quad 2\pi\\[6pt]x\::\:0\quad&\Longrightarrow\quad\pi a\quad\Longrightarrow\quad 2\pi a\\[6pt]y\::\:0\quad&\Longrightarrow\quad 2a\quad\Longrightarrow\quad 0\\[6pt]\end{align*}\]
のように動いてちょうど1周します。

サイクロイドの面積

サイクロイド曲線の媒介変数表示
\[x=a\,(t-\sin t),\:\:y=a\,(1-\cos t)\quad (a\gt 0)\]
を用いてサイクロイド曲線と $x$ 軸に囲まれた部分の面積を計算できます。$x=\pi a$ で曲線は対称形をしているので、$y$ を $x=\pi a$ まで積分した値を 2 倍します。
\[\begin{align*}S=&\,2\int_{0}^{\pi a}ydx=2\int_{0}^{\pi}y\frac{dx}{dt}\,dt\\[6pt]=&\,2\int_{0}^{\pi}a\,(1-\cos t)\,a\,(1-\cos t)\,dt\\[6pt]=&\,2a^2\int_{0}^{\pi}(1-2\cos t+\cos^2t)\,dt\end{align*}\]
第1項と第2項はそれぞれ
\[\int_{0}^{\pi}dt=\pi,\quad\int_{0}^{\pi}\cos t\,dt=0\]
となります。第3項は $\displaystyle a_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^nt\,dt$ の漸化式
\[a_0=\frac{\pi}{2},\:\:a_1=1,\:\:a_n=\frac{n-1}{n}a_{n-2}\]
によって計算することができます。
\[\int_{0}^{\pi}\cos^2\,dt=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\,dt=2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\]
したがって、求める面積は
\[S=2a^2\,\left(\pi+\frac{\pi}{2}\right)=3\pi a^2\]
となります。

サイクロイド曲線の長さ

$x,\;y$ が媒介変数 $t$ で表されたときの曲線の長さを求める公式は
\[L=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt\]
です。この公式を使ってサイクロイド曲線
\[x=a\,(t-\sin t),\:\:y=a\,(1-\cos t)\quad (a\gt 0)\]
の長さを計算します。
\[\frac{dx}{dt}dt=a,(1-\cos t)\quad\frac{dy}{dt}=a\,\sin t\]
となるので、求める長さは
\[\begin{align*}L=&\,\int_{0}^{2\pi}\sqrt{2(1-\cos t)}\,dt=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{4\sin^2\frac{t}{2}}\,dt\\[6pt]=&\,\int_{0}^{2\pi}\sin\frac{t}{2}\,dt=8a\end{align*}\]
となります。

Excelでサイクロイド曲線を描く

サイクロイド曲線はトロコイド(trochoid)とよばれる曲線群
\[\begin{align*}x&=r_m\theta-r_d\cos\theta\\[6pt]y&=r_m-r_d\cos\theta\end{align*}\]
に含まれます。この方程式で $r_m=r_d$ とおくと、よく知られたサイクロイドの方程式
\[\begin{align*}x&=r_m(\theta-\cos\theta)\\[6pt]y&=r_m(1-\cos\theta)\end{align*}\]
になります。トロコイドを描画するファイルをダウンロードしてください。

≫ ファイルをダウンロード

ダウンロードを終えたら、ファイルを開いて [トロコイド] のシートを選択します。デフォルトでサイクロイド曲線が描かれているはずです。

Excel サイクロイド (cycloid)

rm = rd に設定したときにサイクロイドになります。rm, rd はスピンボタンを使って自由に変更でるので、色々試してみてください。たとえば rm = 4, rd = 1.5 に設定すると、次のようなトロコイド曲線が描かれます。

Excel サイクロイド (cycloid) 02

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  1. あとりえこばと より:

    【AI連載小説】数学のリズム、エクセルの旋律(44)
    「VBAでサイクロイドの弧長を計算してみよう」
     
    真琴:「今日はサイクロイド曲線の弧長を求めるアルゴリズムについて考えてみよう」
    隆治:「弧長を求めるのは微積分的なアプローチが必要だろうな」
    月子:「VBAでどのように実装するか、みんなでアイディアを出し合ってみよう」

    ・計算アルゴリズムの検討
    真琴:「サイクロイド曲線の弧長を求めるためには、積分を使うのが一般的だね」
    研伸:「具体的にどのような積分を行えばいいんだろう?」
    真琴:「サイクロイド曲線はパラメータ方程式で表されるから、その積分を考える必要がある
    隆治:「そうか、微小区間の弧長を積み上げていく感じだな」

    ・具体的な実装方針の決定
    真琴:「では、微小区間の弧長を計算する関数を作り、それを積み上げるようなVBAコードを書いてみよう」
    研伸:「微小区間の弧長って、微分の知識が必要なのか?」
    真琴:「そうだね。微分を使って微小区間の弧長を計算することになる」
    月子:「みんなが理解しやすいように、途中経過をエクセルに表示するといいかもしれないね」