対数関数の微分積分

対数関数の導関数　Derivative of logarithmic function

　対数関数の微分については次のような公式が知られています。

公式 (1) から (4) の証明

(1) 　微分の定義にしたがって証明します。
\[\begin{align*}(\log x)'&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\log (x+\Delta x)}{\Delta x}\\[6pt]
&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{1}{\Delta x}\log \left( \frac{x+\Delta x}{\Delta x} \right)\\[6pt]
&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\log \left( 1+\frac{\Delta x}{x} \right)^{\frac{x}{\Delta x}\frac{1}{x}}\end{align*}\]　ここで極限公式
\[\lim_{h\rightarrow 0}(1+h)^{1/h}=e\]において $h=\Delta x/x$ とおくと
\[\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\left( 1+\frac{\Delta x}{x} \right)^{\frac{x}{\Delta x}}=e\]となるので
\[(\log x)'=\log e^{1/x}=\frac{1}{x}\]が導かれます。

(2) loga は定数ですから微分の途中で消えます。
\[(\mathrm{log}ax)'=(\mathrm{log}a+\log x)'=\frac{1}{x}\]

(3) \(y=\mathrm{log}|f(x)|\) とおくと
　
\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{df} \frac{df}{dx}=\frac{f'(x)}{f(x)}\]

(4) 底の変換公式を用います。
\[(\mathrm{log}_a x)'=\left ( \frac{\mathrm{log}x}{\mathrm{log}a} \right )'=\frac{1}{x\: \mathrm{log}a}\]　

積分形式

　対数関数の微分を積分形式で書くと次のようになります。
　
\[\begin{align*}&\int \frac{dx}{x}=\mathrm{log}x+C \tag{5}\\
&\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=log\: |f(x)|+C \tag{6}\end{align*}\]　

対数微分法　Logarithmic differentiation

　ある種の微分は両辺の対数をとってから微分すると簡単になることがあります。
　以下の例を参考にしてください。
　
\[\begin{align*}&y=(x+1)^2(x+3)^4\\[6pt]
&\mathrm{log}\, y=\mathrm{log}(x+1)^2+\mathrm{log}(x+3)^4\\\\[6pt]
&\mathrm{log}\, y=2\, \mathrm{log}|x+1|+4\, \mathrm{log}|x+3|\\\\[6pt]
&\frac{y'}{y}=\frac{2}{x+1}+\frac{4}{x+3}=\frac{2(3x+5)}{(x+1)(x+3)}\\\\[6pt]
&y'=2(3x+5)(x+1)(x+3)^3\end{align*}\]　

対数関数の積分　Integral of logx

　まずは部分積分の例題として有名な式です。

　証明には部分積分を用います。
　
\[\begin{align*}\int 1\cdot\log xdx&=x\log x-\int x\cdot\frac{1}{x}dx=x\log x-x+C\\[6pt]
\int\log \frac{1}{x}dx&=x\log \frac{1}{x}-\int x\frac{-1/x^2}{1/x}dx=-x\log x+x+C\\[6pt]\end{align*}\]
　下図に F(x) = xlogx － x および、その導関数である f(x) = logx を描いておきましたので、イメージを補強してください。

　またとくに 1 から e までの定積分は
　
\[\int_{1}^{e} \mathrm{log}xdx=1\tag{9}\]　
となるので、これも覚えておきましょう。

計算例

\[\int \mathrm{log}(ax+b)dx=\frac{1}{a}[(ax+b)\;\mathrm{log}(ax+b)-ax-b]+C\]
　ちなみに上の計算には次の公式を用いています：
　
\[\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C\]　

logx/x の積分

　logx/x の積分もぜひ覚えておきたいところです。

　これは dx/x = d(logx) と見れば自然と出てくる式です。　≫ 数学辞典