メビウス関数 (Mobius function)

メビウス関数の定義

　任意の自然数 $n$ の約数すべてにわたって和をとったときに $0$ になるような関数 $f(n)$ があれば、数論にとって非常に有用な関数となります。1831 年、メビウスの輪で有名なドイツの数学者メビウス (August Ferdinand Möbius) がそのような条件を満たす関数 $\mu (n)$ を発表しました。

　具体的に計算してみましょう。

　　$n=1$ のときは定義によって $\mu (1)=1$

　　$n=2$ は 1 個の素数の積なので $\mu (2)=(-1)^1=-1$

　　$n=3$ のときも同様に $\mu (3)=-1$

　　$n=4$ のときは平方因子 $2^2$ をもつので $\mu (4)=0$

　以下同様に計算していくと、
　
\[\mu (5)=-1,\quad\mu (6)=\mu (2\cdot 3)=(-1)^2=1,\quad\mu (7)=-1,\quad\cdots\]
のような値をとることがわかります。定義より明らかに素数 $p$ について
　
\[\mu (p)=-1,\quad \mu (p^k)=0\quad(k=2,\:3,\:\cdots)\]
が成り立ちます。
　
　メビウス関数が乗法的であることを証明しておきます。

[定理 D9 の証明] $a,\;b$ を素因数分解して
　
\[\begin{align*}a=&\,p_1^{\,a_1}\,p_2^{\,a_2}\,\cdots\,p_i^{\,a_i}\\[6pt]
b=&\,q_1^{\,b_1}\,q_2^{\,b_2}\,\cdots\,p_j^{\,b_j}\end{align*}\]
のように表せたとします。$(a,\:b)=1$ なので、
　
\[p_1,\;p_2,\;\cdots,\;p_i,\;q_1,\;q_2,\;\cdots,\;q_j\]
の中に共通する素因数はないので、$a$ と $b$ の積をつくると
　
\[ab=p_1^{\,a_1}\,p_2^{\,a_2}\,\cdots\,p_i^{\,a_i}\,q_1^{\,b_1}\,q_2^{\,b_2}\,\cdots\,q_i^{\,b_i}\]
となります。$a_1,\;a_2,\;\cdots,\;b_1,\;b_2$ のなかに 2 以上の値があるときは
　
\[\mu (a)\,\mu (b)=0=\mu (ab)\]
となります。$a_1=a_2=\cdots b_1=b_2=\cdots =1$ のときは
　
\[\mu (a)=(-1)^i,\quad\mu (b)=(-1)^j,\quad\mu (ab)=(-1)^{i+j}\]
となるので、
　
\[\mu (ab)=\mu (a)\mu (b)\]
が成り立ちます。（証明終）

　たとえば $n=20$ のとき、
　
\[\mu (35)=\mu (5)\,\mu (7)=(-1)\cdot (-1)=1\]
のように計算できます。
　

すべての約数についてメビウス関数の和をとります

　たとえば $n=12$ のとき、そのすべての約数について和をとると
　
\[\begin{align*}\sum_{d|12}\mu (d)=&\,\mu (1)+\mu (2)+\mu (3)+\mu (4)+\mu (6)+\mu (12)\\[6pt]=&\,1+(-1)+(-1)+0+(-1)^2+0=0\end{align*}\]
となります。これは一般にも成り立つ定理です。

[定理 D10 の証明] $n=1$ のときは定義より明らかです。$n\neq 1$ のとき
　
\[n=p_1^{\,a_1}\,p_2^{\,a_2}\,\cdots\,p_k^{\,a_k}\]
のように素因数分解されたとすると、その約数は
　
\[d=p_1^{\,x_1}\,p_2^{\,x_2}\,\cdots\,p_k^{\,a_k}\quad (1\leq x_i\leq a_k)\]
で表されます。$x_i\geq 2$ であれば $\mu (d)=0$ なので、このようなケースを除いて、$x_i=0$ または $x_i=1$ についてのみ和をとると
　
\[\begin{align*}\sum_{d|n}\mu (d)&=\mu (1)+\mu (p_1)+\mu (p_2)+\cdots +\mu (p_k)+\cdots\\[6pt]
&+\mu (p_1\,p_2)+\mu (p_1\,p_3)+\cdots\\[6pt]&+\mu (p_1\,p_2\,p_3)+\mu (p_1\,p_3\,p_4)+\cdots\\[6pt]
&+\cdots\cdots\cdots\\[6pt]&+\mu (p_1\,p_2\,\cdots\,p_k)\end{align*}\]
　ここでたとえば $\mu (p_1\,p_2)+\mu (p_1\,p_3)+\cdots$ は $k$ 個から異なる $2$ 個を取り出したときの組み合わせの和となっているので、
　
\[\begin{align*}\sum_{d|n}\mu (d)=&\,1+{}_k\mathrm{C}_1\,(-1)+{}_k\mathrm{C}_2\,(-1)^2+\cdots+{}_k\mathrm{C}_k\\[6pt]
=&\,\{1+(-1)\}^k=0\end{align*}\]
となります。（証明終）

　証明の最後のところでは 二項定理
　
\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^n{}_n\mathrm{C}_k\:a^{n-k}\:b^{\:k}\]
を用いました。

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$\mu (d)$ と $\mu (n/d)$ の約数にわたる和は等しくなります

　たとえば $\mu(10/d)$ の約数にわたる和を計算してみると
　
\[\begin{align*}\sum_{d|10}\mu\left(\frac{10}{d}\right)=&\mu\left(\frac{10}{1}\right)+\mu\left(\frac{10}{2}\right)+\mu\left(\frac{10}{5}\right)+\mu\left(\frac{10}{10}\right)\\[6pt]
&=\mu(10)+\mu(5)+\mu(2)+\mu(1)=\sum_{d|10}\mu(d)\end{align*}\]
のようになって $\mu(d)$ の和に等しくなります。一般的にも
　
\[\sum_{d|n}\mu\left(\frac{n}{d}\right)=\sum_{d|n}\mu(d)\]
という関係が成り立ちます。

メビウスの反転公式

　次は メビウスの反転公式 (Möbius inversion formula) を証明しますが、その前に準備として補題を１つ示しておきます。

[補題 D1 の証明] $d\,|\,n\;\wedge\; e\,|\,d$ ならば
　
\[n=kd,\quad d=le\]
とおけるので、
　
\[n=kle\quad\therefore e\,|\,d\]
が成り立ちます。さらに
　
\[\frac{n}{d}=k,\quad \frac{n}{d}=kl\]
なので、$\displaystyle\frac{n}{d}\mid\frac{n}{e}$ が成り立ちます。逆に $\displaystyle e\,|\,n\;\wedge\;\frac{n}{d}\mid\frac{n}{e}$ が成り立つとき、
　
\[\frac{n}{e}=m\frac{n}{d}\]
とおけるので、$d=me$ すなわち $e\,|\,d$ となります。（証明終）
　
　ある整数論的関数 $g(n)$ を別の関数 $f(n)$ の約数にわたる和によって
　
\[g(n)=\sum_{d|n}f(d)\]
のように定義されるとき、逆に $f(n)$ が $g(n)$ によってどのように表されるかを述べているのが次の定理です。

[定理 D11 の証明] (1) を (2) の右辺に代入すると
　
\[\sum_{d|n}\mu\left(\frac{n}{d}\right)\left[\sum_{e|d}f(e)\right]=\,\sum_{d|n}\left[\sum_{e|d}\mu\left(\frac{n}{d}\right)f(e)\right]\]
　ここで先ほどの補題 D1
　
\[d\,|\,n\;\wedge\;e\,|\,d\quad\Longleftrightarrow\quad e\,|\,n\;\wedge\;\frac{n}{d}\mid\frac{n}{e}\]
を用いて和の変数を置き換えると
　
\[\sum_{d|n}\left[\sum_{e|d}\mu\left(\frac{n}{d}\right)f(e)\right]=\sum_{e|n}\left[\sum_{(n/d)|(n/e)}\mu\left(\frac{n}{d}\right)\right]f(e)\]
　ここで [　] の中は $n/e=1$ のときのみ $1$ となり、その他の場合は $0$ となります。よって $n=e$ より
　
\[\sum_{d|n}\mu\left(\frac{n}{d}\right)g(d)=f(n)\]
となることが示されました。（証明終）
　

メビウス関数とオイラー関数

　メビウスの反転公式
　
\[\begin{align*}g(n)=&\,\sum_{d|n}f(d)\qquad\qquad\quad (1)\\[6pt]
f(n)=&\,\sum_{d|n}\mu\left(\frac{n}{d}\right)g(d)\qquad (2)\end{align*}\]
において $f(n)=\varphi(n)$ とおくと、
　
\[g(n)=\sum_{d|n}\varphi(d)=n\]
となるので、
　
\[\varphi(n)=\sum_{d|n}\mu\left(\frac{n}{d}\right)d\]
　$n=de$ とおくと

となって、メビウス関数と オイラー関数 を結びつけることができます。$n=12$ の場合で試してみます。
　
\[\begin{align*}\varphi(12)=&\,12\sum_{d|12}\frac{\mu(d)}{d}\\[6pt]
=&\,12\left(\frac{\mu(1)}{1}+\frac{\mu(2)}{2}+\frac{\mu(3)}{3}+\frac{\mu(4)}{4}+\frac{\mu(6)}{6}+\frac{\mu(12)}{12}\right)\\[6pt]
=&\,12\left(\frac{1}{1}+\frac{(-1)}{2}+\frac{(-1)}{3}+\frac{0}{4}+\frac{1}{6}+\frac{0}{12}\right)=4\end{align*}\]