共通の約数 b をもつ数の線形結合も b を約数にもちます

 初等整数論講座の第 3 回です。
 今回は約数について、ほぼ自明と思われる定理を 2 つ証明しておきます。

共通の約数 b をもつ数字の線形結合

 たとえば共通の約数 2 をもつ 6 と 12 を考えます。
 数論の記号を使うと 2|6 , 2|12 です。これを足し合わせると
 
\[6+12=2(3+6)=2\cdot 9\]
と書けるので、18 もまた 2 を約数にもちます。今度は 6 と 12 にそれぞれ適当な整数を掛けて加えてみます(これを 線形結合 とよびます)。たとえば係数として 11 と 5 を選ぶと
 
\[11\cdot 6+5\cdot 12=2(11\cdot 3+5\cdot 6)=2\cdot 63\]
と書けるので、126 もやはり 2 を約数にもちます。以上のことを一般化すると次の定理が成り立ちます。

[定理 A3] 整数 $a_1,\:a_2,\:b,,\:c_1,\:c_2$ について

$b\,|\,a_1,\:b\,|\,a_2$ ならば $b\,|\,c_1a_1+c_2a_2$

が成り立ちます。

[定理 A3 の証明] $a_1=bq_1,\:a_2=bq_2$ と表すと、
 
\[c_1a_1+c_2a_2=b\,(c_1q_1+c_2q_2)\]
となるので、$b$ を約数にもつことが示されました。

 定理 A3 は次のように拡張できます。

[定理 A4] 整数 $a_i,\:b,\:c_i\: (i=1,\:2,\:\cdots\:n)$ について

$b\,|\,a_i$ ならば $b\,|\,\displaystyle\sum_{i=1}^n c_ia_i$

が成り立ちます。

 定理 A3 と A4 を数学記号を用いて簡略して書いてみます。
 整数全体の集合は $\mathbb{Z}$ と表すことが慣例になっています。そしてこの集合から1つの整数 $a$ を選ぶこと、つまり任意の整数 $a$ であることを $a\in\mathbb{Z}$ のように書きます。正確には「 $a$ は $\mathbb{Z}$ の元である」ことを意味しています。また「 P ならば Q 」、すなわち「 P は Q であるための十分条件」であることを $P\Longrightarrow Q$ という記号で表します。このような記号を用いると定理 A3 と A4 は次のように書くことができます。

[定理 A3] $a_1,\:a_2,\:b,,\:c_1,\:c_2\in\mathbb{Z}$
\[b|a_1,\quad b\,|\,a_2\quad\Longrightarrow\quad b\,|\,c_1a_1+c_2a_2\]
[定理 A4] $a_i,\:b,\:c_i\in\mathbb{Z}\quad (i=1,\:2,\:\cdots\:n)$
\[b\,|\,a_i\quad\Longrightarrow\quad b\,|\,\sum_{i=1}^n c_ia_i\]

 このように記号だけ並べてしまうと、慣れないうちは難しく感じるかもしれませんが、そもそも記号は物事を楽に考えるために(つまりなるべく脳を休ませるために)使うのであって、いったん慣れてしまえば、こちらのほうがずっと楽に思えてくるのです。当サイトでは両方のスタイルを併記するようにします。
 

ケプラーの八角星 不定方程式の整数解問題 (ブルーバックス)

c|b , b|a ならば c|a です

 たとえば 3 を約数にもつ 9 と、9 を約数にもつ 27 について、27 が 3 を約数にもつことはほぼ自明のことですが、これを定理として書くと次のようになります。

[定理 A5] 整数 $a,b,c$ について

$c\,|\,b,\:b\,|\,a$ ならば $c\,|\,a$

が成り立ちます。

 記号を使って簡略化すると次のように表せます。

[定理 A5] $a,\:b,\:c\in\mathbb{Z}$
\[c\,|\,b,\:b\,|\,a\quad\Longrightarrow\quad c\,|\,a\]

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