調和級数と交代調和級数

 

調和級数 Harmonic series

 $a_n=1/n$ を順に足し加えていく級数を 調和級数 (harmonic series) とよびます。
 
\[H=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\:\cdots\:+\frac{1}{n}+\:\cdots\]
 調和級数は発散します。以下に 2 通りの証明を載せておきます。

調和級数が発散することの証明①

 級数の各項を 1 個、2 個、4 個 ... というように $2^k$ 個ごとのグループに分けて不等号をつくります。
 
\[\begin{align*}H&=1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right) +\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)+\:\cdots\\[6pt]
&\gt 1+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right) +\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)+\:\cdots\\[6pt]&=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\:\cdots\end{align*}\]
 1/2 を加えていく級数は発散するので、調和級数 $H$ は発散します。

調和級数が発散することの証明②

 下図のように $y=1/x$ の積分と比較する方法もあります。

 Excel調和級数積分

 図の長方形を加えた面積が $\displaystyle \sum_{n=1}^{n}\frac{1}{n}$ に相当します。この部分が $y=1/x$ の積分より大きいのは明らかです。$y=1/x$ を 1 から ∞ まで積分すると
 
\[\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}=\left[\log x\right]_{1}^{\infty}=\infty\]
なので調和級数 $H$ は発散します。また有限区間において
 
\[H_n=\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{n}\gt \int_{1}^{n+1}\frac{dx}{x}=\log (n+1)\]
という関係が成り立っています。
 

交代調和級数 Alternating harmonic series

 調和級数において各項の符号を交互に変えた交代級数
 
\[S=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\:\cdots\]
のことを 交代調和級数 (alternating harmonic series) とよびます。実はこの級数は対数関数と結びついています。$\log (1+x)$ の級数展開式
 
\[\log (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}\quad (-1\lt x\leq 1)\]
において $x=1$ とおくと
 
\[\log 2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\]
となって、これは交代調和級数そのものです。よって交代調和級数は $\log 2$ に収束します。調和級数は発散し、交代調和級数は収束するので、交代調和級数は 条件収束級数 ということになります。
 

Excel で交代調和級数を調べます

 Excel で描いた交代調和級数の収束の様子を載せておきます。

 Excel交代調和級数

 足されたり引かれたりで小刻みに変動しながらも $\log 2=0.693$ に向けて収束していく様子が見えます。
 

交代調和級数を計算する VBAマクロ

 交代調和級数を計算する Function マクロも載せておきます。

 Function HA(k As Integer) As Double

 Dim i As Integer, j As Integer

 If k Mod 2 = 0 Then
  i = k / 2
  j = k / 2
 Else
  i = Int(k / 2 + 1)
  j = Int(k / 2)
 End If

 For m = 1 To i
  s = s + 1 / (2 * m - 1)
 Next m

 For m = 1 To j
  s = s - 1 / (2 * m)
 Next m

 HA = s

 End Function

 この関数を使うときは項数 n を引数として

=HA(n)

と入力してください。 ≫ 数学辞典

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