床関数とガウス記号

床関数とガウス記号

 数論では主に整数を扱いますが、「 100 を 3 で割ってからその整数部分をとる」というように、いったん実数で計算をしてから整数に戻すという処理をする場合もあります。
 そのときによく使われるのが 床関数 (floor function) です。床関数は $\lfloor x\rfloor$ という記号で表し、ある実数 $x$ について「$x$ を超えない最大の整数」を意味します。$[x]$ という記号で表すこともありますが、こちらは ガウス記号 とよばれます。当サイトでは $\lfloor x\rfloor$ を採用しますが、好みに応じて使う記号を選択してください(大学入試ではガウス記号のほうがよく用いられるようです)。床関数の具体例を見てみましょう。たとえば
 
\[\lfloor 3.14\rfloor=3\]
のように正数であれば単純に小数部分を切り捨てればいいだけです。ただし、負数の場合には少し注意が必要です。たとえば
 
\[\lfloor -1.8\rfloor=-2\]
のようになります。-1.8 を超えない最大の整数は $-1$ ではなく $-2$ です。床関数をきちんと定義すると
 
\[x-1\lt\lfloor x\rfloor\leq x\quad (x\in\mathbb{R},\:\lfloor x\rfloor\in\mathbb{Z})\]
となります。ここで $x\in\mathbb{R}$ は $x$ が実数、$\lfloor x\rfloor\in\mathbb{Z}$ は $\lfloor x\rfloor$ が整数であることを示しています。$x=3.14$ を例にとると、
 
\[2.14\lt\lfloor x\rfloor\leq 3.14\]
となるような整数なので、$\lfloor x\rfloor=3$ というように唯一つの整数が決まります。あるいは次のように定義することもできます。
 
\[\lfloor x\rfloor\leq x\lt\lfloor x\rfloor+1\quad (x\in\mathbb{R},\:\lfloor x\rfloor\in\mathbb{Z})\]
 たとえば $x=2.5$ とすると
 
\[\lfloor 2.5\rfloor\leq 2.5\lt\lfloor 2.5\rfloor+1\]
を満たすような整数 $\lfloor 2.5\rfloor$ は 2 だけです。
 
 床関数では次のような計算規則が成り立ちます。
 
\[\begin{align*}&x,y\in\mathbb{Z},\:n\in\mathbb{N}\\[6pt]&(1)\:x\leq y\quad\Longrightarrow\quad\lfloor x\rfloor\leq\lfloor y\rfloor\\[6pt]&(2)\:\lfloor x+n\rfloor=\lfloor x\rfloor+n\\[6pt]&(3)\:\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor\leq\lfloor x+y\rfloor\leq\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+1\end{align*}\]
 (1) は床関数の定義より明らかなので、(2) と (3) を証明します。

【(2) の証明】$x$ を整数部分 $x$ と小数部分 $a$ に分けます。すなわち $x=m+a\:(m\in\mathbb{R},\:a\in\mathbb{Z},\:0\leq a\lt 1)$ とおくと
 
\[\begin{align*}&\lfloor x+n\rfloor=m+n\\[6pt]&\lfloor x\rfloor+n=m+n\\[6pt]&\therefore\lfloor x+n\rfloor=\lfloor x\rfloor+n\end{align*}\](証明終)

【(3) の証明】床関数の定義より
 
\[\begin{align*}&\lfloor x\rfloor\leq x\lt\lfloor x\rfloor+1\quad (\lfloor x\rfloor\in\mathbb{Z})\\[6pt]&\lfloor x\rfloor\leq y\lt\lfloor y\rfloor+1\quad (\lfloor y\rfloor\in\mathbb{Z})\end{align*}\]
 両辺を加えて
 
\[\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor\leq x+y\lt\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+2\]
 $\lfloor x+y\rfloor$ は整数なので、
 
\[\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor\leq\lfloor x+y\rfloor\lt\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+1\]
が成り立ちます。(証明終)

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