約数関数(約数のベキ乗の総和)

約数関数の定義

[定義 D2] ある自然数 $n$ について、全ての約数のべき乗を足し加えたものを 約数関数 (divisor function) と定義します:
\[\sigma_k(n)=\sum_{d|n}d^k=d_1^2+d_2^2+\cdots\]

 べき関数 $f(n)=n^k$ は
 
\[f(ab)=(ab)^k=a^k\,b^k=f(a)\,f(b)\]
という関係を満たすので乗法的関数です。したがって前回記事の定理 D2

 $f(n)$ が乗法的関数 $\displaystyle\Longrightarrow\quad g(n)=\sum_{d\:|\:n}f(d)$ も乗法的関数

によって、約数関数もまた乗法的関数であることがわかります。
 

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約数の個数

 $\sigma_k(n)$ の定義において $k=0$ とすると

\[\sigma_0(n)=\sum_{d|n}1\]

となり、これは約数を 1 個、2 個と数えることを意味します。つまり $\sigma_0(n)$ は約数の個数を表す関数です。たとえば $12$ の約数は
 
\[\{\:1,\;2,\;3,\;4,\;6,\;12\:\}\]
の $6$ 個なので、$\sigma_0(12)=6$ となります。もし $n$ がある1つの素数 $p$ のべき乗 $n=p^a\;(a\in\mathbb{Z})$ であるならば、その約数は
 
\[\{\:1,\;p,\;p^2,\;\cdots,\;p^a\:\}\]
の $a+1$ 個となるので、$\sigma_0(p^a)=a+1$ となります。そこで次の定理が成り立ちます。

[定理 D3] ある自然数 $n$ が
\[n=p_1^{a1}\,p_2^{a2}\,\cdots\,\;(a_1,\,a_2,\,\cdots\,\in\mathbb{Z})\]のように素因数分解されるとき、約数の個数は
\[\sigma_0(n)=(a_1+1)\,(a_2+1)\,\cdots\]で与えられます。

 たとえば $12$ を素因数分解すると $12=2^2\,3^1$ となるので、
 
\[\sigma_0(12)=(2+1)\,(1+1)=6\]
となります。もっと大きな数で試してみましょう。たとえば
 
\[29400=2^3\,3^1\,5^2\,7^2\]
なので、約数の個数は
 
\[\sigma_0(29400)=(3+1)\,(1+1)\,(2+1)\,(2+1)=72\]
となります。 ≫ 約数和と完全数、友愛数 ≫ 初等整数論入門講座

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