完全微分型方程式と積分因子

 

完全微分型方程式 Exact Differential Equation

 次のような微分方程式を考えてみます。
 
\[x\frac{dy}{dx}+y=0\]
 これは変数分離によって簡単に解くことができますが、ここでは少し違ったやり方で解いてみます。両辺に $dx$ をかけると
 
\[xdy+ydx=0\]
となります。左辺をじっと見つめると、これは $xy$ の全微分になっていることに気づきます。念のために確認しておくと ......
 
\[d(xy)=\frac{\partial (xy)}{\partial x}dx+\frac{\partial (xy)}{\partial y}dy=xdy+ydx\]
 確かに $xdy+ydx$ は $xy$ の全微分ですね。すると微分方程式は
 
\[d(xy)=0\]
と書き直せるので、積分すると
 
\[xy=c\]
という解が得られます。$xy$ という関数を目視で見つけることができるなら、変数分離よりも早く、しかも暗算で解いてしまうことができます。

 一般に次のような形の方程式
 
\[d\varPhi=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\tag{A}\]
において、関数 $P(x,y)$ と $Q(x,y)$ が
 
\[\frac{\partial \varPhi}{\partial x},\quad\frac{\partial \varPhi}{\partial y}\tag{A1}\]
のように、ある関数 $\varPhi$ の偏微分の形で与えられているとき、(A) を 完全微分型方程式 とよび、その解は
 
\[\varPhi (x,y)=c\tag{A2}\]
で与えられます ($c$ は任意定数)。

 もちろんこのような $\varPhi$ がいつでも存在するとは限らないし、あったとしても見つけることが難しい場合もあります。とはいえ目視で $\varPhi$ を見つける以外にもある程度の手掛かりはあります。その1つは (A) が完全微分型であるための必要十分条件が

\[\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\tag{A3}\]

であるという定理です。これを満たさなければ $\varPhi$ は存在しません。まずは必要条件、すなわち
 
\[\frac{\partial\varPhi}{\partial x},\quad\frac{\partial\varPhi}{\partial y}\tag{A1}\]
を満たす $\varPhi$ が存在するならば、
 
\[\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\tag{A3}\]
となることを証明してみます。これは簡単です。
 
\[\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial^2\varPhi}{\partial y\partial x},\quad\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial^2\varPhi}{\partial x\partial y}\]
となるので、微分の順序を入れ替えれば (A3) が成立します。今度は十分条件、すなわち
 
\[\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\tag{A3}\]
が成立するならば、
 
\[\frac{\partial\varPhi}{\partial x},\quad\frac{\partial\varPhi}{\partial y}\tag{A1}\]
を満たす $\varPhi$ が存在することを証明します。
 
\[\varPhi (x,y)=\int_{a}^{x}P(s,y)ds+R(y)\tag{A4}\]
とおくと、
 
\[\begin{align*}
\frac{\partial\varPhi}{\partial y}&=\int_{a}^{x}\frac{\partial P(s,y)}{\partial y}ds+\frac{dR}{dy}\\[6pt]
&=Q(x,y)-Q(a,y)+\frac{dR}{dy}\end{align*}\]
となります。$\partial\varPhi/\partial y=Q(x,y)$ となるには
 
\[\frac{dR}{dy}=Q(x,y)\]
が満たされている必要があります。積分して
 
\[R=\int_{b}^{y}Q(a,t)dt+c\]
 これを (A4) に代入して
 
\[\varPhi (x,y)=\int_{a}^{x}P(s,y)ds+\int_{b}^{y}Q(a,t)dt+c\]
 ここで $x=a,\:y=b$ とおくと積分定数が $c=\varPhi (a,b)$ と定まり
 
\[\varPhi (x,y)=\int_{a}^{x}P(s,y)ds+\int_{b}^{y}Q(a,t)dt+\varPhi (a,b)\tag{A5}\]
という表式を得ます。この積分は下の図の A → S → B という経路に沿っています。

 Excelで書いた積分経路の変更図

 これを A → T → B という経路に変えても積分結果は変わらないので、(A5) は
 
\[\varPhi (x,y)=\int_{a}^{x}P(s,b)ds+\int_{b}^{y}Q(x,t)dt+\varPhi (a,b)\tag{A6}\]
としてもかまいません(完全微分型方程式の演習問題はこちらにあります)。

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積分因子 Integrating Factor

 与えられた方程式が完全微分型でなくても、ある関数 $\mu (x,y)$ をかけて
 
\[\mu (x,y)P(x,y)dx+\mu (x,y)Q(x,y)dy=0\tag{B}\]
としたものが完全微分型方程式になるとき、$\mu (x,y)$ を 積分因子 とよびます。もちろんその必要十分条件は
 
\[\frac{\partial\mu P}{\partial y}=\frac{\partial\mu Q}{\partial x}\tag{B}\]
となります。しかし一般にこの方程式から具体的な $\mu (x,y)$ を発見するのは難しく、試行錯誤しなければならない場合がほとんどです。比較的簡単なケース、すなわち $\mu$ が $x$ または $y$ だけに依存する場合、あるいは $\mu (x,y)=x^my^m$ という形になっている場合には、解法が定型化されていますので、演習問題 で順次取り上げることにします。
 

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