マクローリン展開（関数の多項式近似）

関数の多項式近似

ある関数 $y=f(x)$ を $x=0$ 付近で次のような多項式で近似する方法を考えます。
 $$\begin{array}{}\text{(A)}& f(x)\simeq a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\cdots +a_n{x}^n\end{array}$$
まず $x=0$ で $f(0)$ に一致していないと話にならないので、$a_0=f(0)$ というように定数項が定まります。ついでに 1 階微分したときの $x=0$ の値も一致させようと考えます。
 $$f^{\prime }(x)\simeq a_1+2a_{2}x+3a_3{x}^2+\cdots$$
ですから、2 つめの係数は $a_1=f^{\prime }(0)$ と決まります。さらに欲張って 2 階微分したときの $x=0$ の値も一致させようと考えて
 $$f^{\prime \prime }(x)\simeq 2a_2+2\cdot 3a_{3}x+\cdots$$
より $a_2=f^{\prime \prime }(0)/2$ となります。以下同様にして
 $$a_3=\frac{f^{(3)}(0)}{3!},a_4=\frac{f^{(4)}(0)}{4!},\cdots ,a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$$
が定まります。すなわち関数 $f(x)$ は
 $$\begin{array}{}\text{(B)}& f(x)\simeq f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n\end{array}$$
のように近似されます。以下でより厳密な方法で証明します。

マクローリン展開

近似式には誤差がつきものですから、(B) を誤差 $R_{n+1}$ を含んだ形で書き換えます。
 $$f(x)\simeq f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+R_{n+1}$$
以降の議論はかなり技巧的になります。まず誤差は
 　$$R_{n+1}=A{x}^{n+1}$$
のような形になると予想します（これは自然な予想といえます）。そして（あとで平均値の定理が使えるように）$g(0)=g(x)$ を満たすような $k$ についての関数 $g(k)$ を次のように定義します。
 $$\begin{array}{rl}g(k)=& f(x)-f(k)-f^{\prime }(k)(x-k)-\frac{f^{\prime \prime }(k)}{2!}(x-k{)}^2-\cdots \\ & -\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x-k{)}^n-A(x-k{)}^{n+1}\end{array}$$
$x>0$ とすると、$g(k)$ は区間 $[0,x]$ において微分可能なので、平均値の定理 から
 $$\frac{g(x)-g(0)}{x}=g^{\prime }(c)$$
となる点 $c$ が区間 $(0,x)$ に少なくとも 1 つは存在します。$g(0)=g(x)$ なので左辺は 0 です。つまり $g^{\prime }(c)=0$ となる点 $c$ が存在するということです。$g(k)$ を微分して整理すると
 $$g^{\prime }(k)=[A-\frac{f^{(n+1)}(k)}{(n+1)!}](n+1)(x-k{)}^m$$
という式が得られます。$g^{\prime }(c)=0$ なので
 $$A=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}$$
と定まります。すなわち誤差は
 $$R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}{x}^{n+1}(0<c<x)$$
であることがわかりました。$c=\theta x$ と置き換えると
 $$\begin{array}{}\text{(C)}& R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}{x}^{n+1}(0<\theta <1)\end{array}$$
と表せます。この誤差をラグランジュ型剰余項とよびます。また剰余項を含んだ展開式
 $$\begin{array}{}\text{(D)}& f(x)\simeq f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+R_{n+1}\end{array}$$
のことをマクローリン展開 といいます。最も簡単な例として、指数関数 $f(x)=e^x$ をマクローリン展開してみると
 $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n(0)}{n!}+R_{n+1}$$
となり、剰余項は
 $$\frac{e^{\theta x}{x}^{n+1}(c)}{(n+1)!}$$
と表せます。以下によく使われる関数のマクローリン展開を載せておきます。
 
$$\begin{array}{rl}& e^x=\sum _n\frac{x^n}{n!}+\frac{e^{\theta x}{x}^{n+1}(c)}{(n+1)!}\\ & \sin x=\sum _n\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^{2n-1}}{(2n-1)!}+\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}\cos \theta x\\ & \cos x=\sum _n\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}+\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+2}}{(2n+2)!}\cos \theta x\\ & \log (1+x)=\sum _n\frac{(-1{)}^n{x}^n}{n}+\frac{(-1{)}^n{x}^{n+1}}{n+1}{\left(\frac{1}{1+\theta x}\right)}^{n+1}\\ & (1+x{)}^k=\sum _n\frac{k(k-1)\cdots (k-n+1)x^n}{n!}\\ & +\frac{k(k-1)\cdots (k-n)}{(n+1)!}(1+\theta x{)}^{k-n-1}{x}^{n+1}\end{array}$$

マクローリン級数

マクローリン展開において無限の項数をとったときに剰余項 $R_{n+1}$ が 0 に収束するならば、関数を次のように無限級数で表すことができます。
 $$\begin{array}{}\text{(E)}& f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+\cdots +\end{array}$$
このような級数のことをマクローリン級数とよびます。この級数展開を使うときは $R_{n+1}$ が 0 に収束する $x$ の範囲に注意しなくてはなりません。以下によく使われる関数のマクローリン級数を載せておきます。
 $$\begin{array}{rl}& e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots \\ & \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots \\ & \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots \\ & \tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+\cdots (-\pi /2<x<\pi /2)\\ & \log (a+x)=\log a+\frac{x}{a}-\frac{x^2}{2a^2}+\frac{x^3}{3a^2}-\cdots (-a<x<a)\end{array}$$
() に級数が収束する $x$ の範囲が示されています。何も書かれていなければ、すべての $x$ で収束します。