ゾロ目でアウト！

【PS19】対称ゲーム (一番大きな目を出した人が勝ちです)

山田君と中村君、佐藤君の $3$ 人がサイコロを $1$ 個ずつ振って勝負します。一番大きい目を出した人が勝ちとなります。山田君が勝つ確率を求めてください。
 
【ヒント】条件は誰にとっても同じだということに着目すると、簡単な計算で答えが出せます。
　
【考え方】この問題は引き分けを数え上げることができれば、ほとんど解決します。ただし、このゲームの引き分けには全員が同じ目を出すというケースだけでなく「２人が同じ目を出して他の１人がそれより少ない目を出す」というケースがあります。山田君、中村君、佐藤君の出目を $(x,\ y,\ z)$ とすると、$(4,\ 4,\ 2)$ は引き分けです。しかし、$(2,\ 2,\ 4)$ は引き分けではなく佐藤君の勝ちです。対称性 を上手に利用して引き分けを数え上げることが本問のポイントになります。

【解答】山田君、中村君、佐藤君の出目を $(x,\ y,\ z)$ とします。
$x=y=z$ で引き分ける方法は $6$ 通りです。
次に $x=y\ (z\leq x)$ で引き分ける方法を数えます。
 
$(6,\ 6,\ z)\quad z\leq 5$　　$5$ 通り
$(5,\ 5,\ z)\quad z\leq 4$　　$4$ 通り
$(4,\ 4,\ z)\quad z\leq 3$　　$3$ 通り
$(3,\ 3,\ z)\quad z\leq 2$　　$2$ 通り
$(2,\ 2,\ z)\quad z=1$　　$1$ 通り
 
合計すると $15$ 通りです。$y=z\ (x\leq y)$ や $x=z\ (y\leq x)$ の引き分けも、それぞれ同じく $15$ 通りずつあるので、$2$ 人が同じ目を出して引き分ける方法は合わせて $15\times 3=45$ 通りあります。$x=y=z$ で引き分ける方法の $6$ 通りと合わせると、引き分けの方法は全部で $51$ 通りとなります。

$3$ 個のサイコロの目の出方は全部で $6^3=216$ 通りです。したがって、このゲームで $3$ 人のうち誰かが勝つ場合の数は $216-51=165$ 通りとなります。同じ条件で勝負しているのですから、山田君が勝つ場合の数は $165/3=55$ 通りです。したがって、山田君が勝つ確率は
 \[\frac{55}{216}\]
となります。

【補足】$(6,\ 6,\ z),\ z\leq 6$ の引き分けが $6$ 通り、というような数え方をしなかったのは、$(6,\ z,\ 6),\ z\leq 6$ を数えたときに $(6,\ 6,\ 6)$ というケースを重複して数えてしまうからです。この数え方では、あとで重複したぶんを差し引かなくてはならないので少し面倒です。なので最初から $x=y=z$ のケースは別に数えておきました。

【PS20】非対称ゲーム (ゾロ目でアウト！)

山田君と中村君がサイコロゲームをします。山田君はサイコロを $2$ 個振って、出た目の大きいほうを得点としますが、ゾロ目（$2$ 個とも同じ目）を出した場合は $0$ 点となります。中村君はサイコロを $1$ 個振って、出た目をそのまま得点とします。大きい得点を出したほうが勝ちです。このゲームはどちらが有利ですか？

【考え方】今回もオリジナル問題です。本問は 非対称ゲーム なので、PS19 のように引き分けを使って考えることはできません。正攻法で「山田君が勝つ確率」を考えます。まず最初に山田君が点数 $1$ ～ $6$ を得る確率を順に計算してみましょう。ただしゾロ目を出すと、その時点で山田君は負けてしまうことに注意してください。
　
【解答】山田君のサイコロの目を $(x,\ y)$ とし、$x\neq y$ のときは $x$ と $y$ を比較して大きいほうを $w$ とします。ゾロ目のとき、すなわち $x=y$ のときは $w=0$ と決めておきます。$\mathrm{max}$ 関数を使うと次のように表せます。
 \[w=\begin{cases}\mathrm{max}(x,\ y) & (x\neq y)\\[6pt]0 & (x=y)\end{cases}\]
$\mathrm{max}(x,y)$ は、$x$ と $y$ を比較して小さくないほうの値をとる関数ですが、今の場合は $x=y$ のときは値をとらないようにしています。山田君の目の出し方と得点の関係を調べます。たとえば $y=6$ のとき、
 \[(1,\ 6),\ (2,\ 6),\ (3,\ 6),\ (4,\ 6),\ (5,\ 6)\]
は山田君が勝つ可能性のある目の出し方です。これは
 \[(x,\ 6),\quad x\leq 5\]
と表せます。この表記法を使って山田君の得点を並べると
 
$(x,\ 6)\quad x\leq 5$　　$5$ 通り　得点 $w=6$
$(x,\ 5)\quad x\leq 4$　　$4$ 通り　得点 $w=5$
$(x,\ 4)\quad x\leq 3$　　$3$ 通り　得点 $w=4$
$(x,\ 3)\quad x\leq 2$　　$2$ 通り　得点 $w=3$
$(x,\ 2)\quad x= 1$　　$1$ 通り　得点 $w=2$
 
となります。$x$ と $y$ を入れ替えると
 
$(6,\ y)\quad y\leq 5$　　$5$ 通り　得点 $w=6$
$(5,\ y)\quad y\leq 4$　　$4$ 通り　得点 $w=5$
$(4,\ y)\quad y\leq 3$　　$3$ 通り　得点 $w=4$
$(3,\ y)\quad y\leq 2$　　$2$ 通り　得点 $w=3$
$(2,\ y)\quad y= 1$　　$1$ 通り　得点 $w=2$
 
となって、これで山田君が勝つ可能性のある目の出し方を数えつくしました（わかりやすくするために敢えて列挙しましたが、$x$ と $y$ は対称なので、先ほどの場合の数を倍にしてかまいません）。目の出し方の総数は $6^2=36$ 通りなので、得点ごとの確率を並べると
 
得点 $w=6$　　$\displaystyle P(6)=\frac{10}{36}$
得点 $w=5$　　$\displaystyle P(5)=\frac{8}{36}$
得点 $w=4$　　$\displaystyle P(4)=\frac{6}{36}$
得点 $w=3$　　$\displaystyle P(3)=\frac{4}{36}$
得点 $w=2$　　$\displaystyle P(2)=\frac{2}{36}$
 
となります。ちなみに山田君には $1$ 点という得点はありえません。$1$ のゾロ目は $0$ 点だからです。今度は山田君の得点 $w$ と中村君の得点 $z$ を $(w,\ z)$ のように並べて、山田君が勝つ確率をケースごとに調べます。
 
$(6,\ z),\quad z\leq 5$　$5$ 通り　確率 $\displaystyle\frac{10}{36}\times\frac{5}{6}$
 
$(5,\ z),\quad z\leq 4$　$4$ 通り　確率 $\displaystyle\frac{8}{36}\times\frac{4}{6}$
 
$(4,\ z),\quad y\leq 3$　$3$ 通り　確率 $\displaystyle\frac{6}{36}\times\frac{3}{6}$
 
$(3,\ z),\quad y\leq 2$　$2$ 通り　確率 $\displaystyle\frac{4}{36}\times\frac{2}{6}$
 
$(2,\ z),\quad y=1$　$1$ 通り　確率 $\displaystyle\frac{2}{36}\times\frac{1}{6}$
 
よって、山田君が勝つ確率は
 \[\frac{50+32+18+8+2}{36\times 6}=\frac{55}{108}\]
となります。これは $\displaystyle\frac{1}{2}=\frac{54}{108}$ より少しだけ高い確率なので、僅かに山田君に有利なゲームとなっています。