2次方程式の解と係数の関係

 
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2次方程式の解と係数の関係 Sum and Product of Roots

  2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の2解を α, β とすると、
\[\alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta=\frac{c}{a}\] が成り立つ。

定理の証明

 解の公式を用いると \(ax^2+bx+c=0\) の解は
 
\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\]
ですから、
 
\[\alpha=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a},\quad \beta=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\]
とおくと、
 
\[\begin{align*}\alpha+\beta=&-\frac{b}{2a}(1+\sqrt{D}+1-\sqrt{D})=-\frac{b}{a}\\[6pt]
\alpha\beta=&\frac{1}{4a^2}(-b+\sqrt{D})(-b-\sqrt{D})=\frac{c}{a}\end{align*}\]
となります。

1/α + 1/β

 公式ではありませんが、
 
\[\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=-\frac{b}{c}\]
も覚えておくと便利です。

計算例

 \(3x^2+2x-1=0\) を例に解と係数の関係を確認しておきましょう。定理を用いると
 
\[\alpha+\beta=-\frac{2}{3},\quad \alpha\beta=-\frac{1}{3}\]
となります。方程式の左辺を因数分解して
 
\[(3x-1)(x+1)=0\]
より \(x=-1,\:1/3\) ですから、 \(\alpha=-1,\:\beta=1/3\)とおくと
 
\[\alpha+\beta=-\frac{2}{3},\quad \alpha\beta=-\frac{1}{3}\]
となって、定理から導いた値と一致しています。
 

3次方程式の解と係数の関係

 3 次方程式 \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) の解を α,β,γ とすると
\[\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a}, \quad \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}\] が成り立ちます。

定理の証明

 α,β,γ を解にもつ方程式は
 
\[a\:(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0\]
と書くことができます。左辺を展開すると
 
\[\begin{align*}x^3-&(\alpha+\beta+\gamma)x^2\\[6pt]
+&(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)-\alpha\beta\gamma
\end{align*}\]
となるので、係数を比較すると上の公式を得ることができます。

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