合成関数と逆関数の微分公式

合成関数の微分公式

微分可能な関数 $y=f(z),z=g(x)$ があって、合成関数 $y=f(g(x))$ の微分は次のように計算できます。
 $$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\frac{dz}{dx}=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)\end{array}$$
これは 鎖の法則 (chain rule) とよばれ、微積分全体にわたって大きな威力を発揮する公式です。

【合成関数の微分公式の証明】
$x$ の増分 $\mathrm{\Delta }x$ に対する $z$ の増分を $\mathrm{\Delta }z$, また $z$ の増分 $\mathrm{\Delta }z$ に対する $y$ の増分を $\mathrm{\Delta }y$ とすると
 $$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }z}\frac{\mathrm{\Delta }z}{\mathrm{\Delta }x}$$
のように書くことができます。$z=g(x)$ は微分可能なので連続です。すなわち $\mathrm{\Delta }x\to 0$ のとき $\mathrm{\Delta }z\to 0$ となるので、
 $$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }z\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }z}\underset{\mathrm{\Delta }x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }z}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{dy}{dz}\frac{dz}{dx}\end{array}$$
が導かれます。いくつか計算例を見てみましょう。

$y=(a{x}^2+bx+c{)}^3$ を微分してみます。$z=a{x}^2+bx+c$ とおくと $y=z^3$ なので
 $$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\frac{dy}{dz}\frac{dz}{dx}=3z^2(ax+b)\\ & =3(ax+b)(a{x}^2+bx+c{)}^2\end{array}$$
となります。$y=\sqrt{x^2+1}$ を微分します。$z=x^2+1$ とおくと $y=\sqrt{z}$ なので
 $$y^{\prime }=\frac{dy}{dz}\frac{dz}{dx}=\frac{x}{\sqrt{z}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$
となります。

逆関数の微分公式

一価単調連続関数 $f(x)$ の逆関数 $y=f^{-1}(x)$ が存在するとき、その微分は
 $$\begin{array}{}\text{(2)}& \frac{dy}{dx}=\frac{1}{dx/dy}\end{array}$$
によって計算できます。

【逆関数の微分公式の証明】
合成関数の微分公式 (1) を用いて (2) を証明することができます。
$y=f^{-1}(x)$ は $x=f(y)$ と書き直せるので両辺を $x$ で微分すると
 $$1=\frac{df(y)}{dx}=\frac{df(y)}{dy}\frac{dy}{dx}$$
ここで $f(y)=x$ なので
 $$1=\frac{dx}{dy}\frac{dy}{dx}$$
となります。すなわち
 $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{dx/dy}$$
となります。例として、$y=\sqrt[n]{x}$ を微分してみます。
 $$x=y^n$$
のように書き直せるので、公式 (2) より
 $$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =\frac{1}{dx/dy}=\frac{1}{n{y}^{n-1}}\\ & =\frac{1}{n{x}^{(n-1)/n}}=\frac{1}{n}{x}^{(1-n)/n}=\frac{1}{n}{x}^{\frac{1}{n}-1}\end{array}$$
というよく知られた公式が得られます。この微分計算は証明過程で行ったように「両辺を微分する」という方法で行うこともできます。$x=y^n$ の両辺を微分すると
 $$1=n{y}^{n-1}{y}^{\prime }$$
ここで $y^n=x$ を代入して
 $$1=n{x}^{1-\frac{1}{n}}{y}^{\prime }$$
となるので、
 $$y^{\prime }=\frac{1}{n}{x}^{\frac{1}{n}-1}$$
というように同じ結果が得られます。