正三角形の性質（角度・面積・周長・対称性）

正三角形の基本

正三角形 (equilateral triangle)は三辺の長さが全て等しい三角形です。



内角も全て等しく、
$$\mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }BCA=\mathrm{\angle }CAB={60}^{\circ }=\frac{\pi }{3}$$
となっています。周の長さは $3a$ です。

正三角形の面積

辺の長さが有理数（分数で表せる数）であれば、点 $A$ から 辺 $BC$ に下ろした垂線の長さ（すなわち正三角形の高さ）$AH$ は必ず無理数となります。



これは次のようにしてわかります。
図において $\mathrm{△}ABH$ に三平方の定理（ピタゴラスの定理）を用いると
$$A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2$$
が成り立つので
$$AH=\sqrt{A{B}^2-A{H}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}a}{2}\simeq 0.866a$$
となります。有理数と無理数の積は有理数となるので、正三角形の高さは無理数になります。



逆に高さが有理数 $b$であったとすると、
$$BH:AB:AH=1:2:\sqrt{3}=\frac{b}{\sqrt{3}}:\frac{2b}{\sqrt{3}}:b$$
という比例関係により辺の長さは無理数となります。また、各辺の長さが $a$ である正三角形の面積は
$$S=\frac{1}{2}AB\cdot BC$$
を計算して
$$S=\frac{\sqrt{3}{a}^2}{4}\simeq 0.433a^2$$
で与えられます。

正三角形の対称性

正三角形の各頂点から垂線を下ろし、その垂線に対して折り重ねることができます（垂線が対称軸となっています）。また、各垂線が交わる点 $O$ は正三角形の重心と一致します。



図のように $AO,BO,CO$ は中心角を 3 等分します：
$$\mathrm{\angle }AOB=\mathrm{\angle }BOC=\mathrm{\angle }COA={120}^{\circ }=\frac{2\pi }{3}$$
すなわち、正三角形はその重心を中心に ${120}^{\circ }$ の回転対称軸をもちます (${120}^{\circ }$ 回転させると重なります)。