陽関数と陰関数

陽関数

一変数関数が $y=f(x)$ の形で表されるとき、$y$ を $x$ の 陽関数 (explicit function) であるといいます。たとえば
 $$y=x^2,y=e^x,y=\cos x$$
などと書かれたとき、$y$ は $x$ の陽関数です。同様に二変数関数が $z=f(x,y)$ の形で表されるとき、$z$ を $x$ と $y$ の陽関数 (explicit function) であるといいます。たとえば
 $$z=x^2+2xy+y^2,z=\sin xy,z=\sqrt{x+y}$$
と表されたとき、$z$ は $x$ と $y$ の陽関数です。

陰関数

一変数関数が
 $$F(x,y)=0$$
の形で与えられたとき、$y$ を $x$ の 陰関数 (implicit function) であるといいます。たとえば、
 $$F(x,y)=y-ax-b=0$$
と書けば、$y$ は $x$ の陰関数であり、直線の式を表しています。また 2 変数関数が
 $$F(x,y,z)=0$$
という形で与えられたとき、$z$ を $x$ と $y$ の 陰関数 (implicit function) であるといいます。たとえば
 $$F(x,y,z)=x^3+x^{2}y+x{y}^2+y^3+a=0$$
と表されたとき、$z$ は $x$ と $y$ の陰関数です。

陰関数の微分法

陰関数を微分して導関数を求めてみましょう。
 
ある関数が $F(x,y)=0$ で表されるとき、
 $$dF=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy=(\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial x}\frac{dy}{dx})dx=0$$
なので、$F_y\ne 0$ のときは
 $$\begin{array}{}\text{(A)}& \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}\end{array}$$
と表すことができます。たとえば半径 $a$ の円を表す方程式
 $$F(x,y)=x^2+y^2-a^2=0$$
において、$F_x=2x,F_y=2y$ なので、
 $$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}(y\ne 0)$$
となります。しかし公式 (A) を使わなくても、
 $$x^2+y^2-a^2=0$$
の両辺を $x$ で微分すると
 $$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$$
となるので簡単に
 $$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}(y\ne 0)$$
が得られます。

ある関数が $F(x,y,z)=0$ で表されるとき、
 $$dF=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy+\frac{\partial F}{\partial z}dz=0$$
この式に
 $$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$
を代入して整理すると
 $$(\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x})dx+(\frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y})dy=0$$
となります。$x$ と $y$ は独立なので、
 $$\begin{array}{}\text{(B)}& \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}\end{array}$$
という公式が得られます。例として
 $$F(x,y,z)=x^2+2xy+yz+z^2-1=0$$
という関数を考えてみます。$F_x=2x+z,F_y=y+2z$ なので
 $$\begin{array}{rl}\frac{\partial z}{\partial x}& =-\frac{F_x}{F_z}=-\frac{2(x+y)}{y+2z}\\ \frac{\partial z}{\partial y}& =-\frac{F_y}{F_z}=\frac{2x+z}{y+2z}\end{array}$$
となります。しかしこの場合も
 $$F(x,y,z)=x^2+2xy+yz+z^2-1=0$$
の両辺を $x$ で微分して
 $$2x+2y+y\frac{\partial z}{\partial x}+2z\frac{\partial z}{\partial x}=0$$
から
 $$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}=-\frac{2(x+y)}{y+2z}$$
が得られ、また両辺を $y$ で微分して
 $$2x+z+y\frac{\partial z}{\partial y}+2z\frac{\partial z}{\partial y}=0$$
から
 $$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}=\frac{2x+z}{y+2z}$$
を得ることができます。普通はこのようにして計算するので、公式 (A), (B) をそのまま使う機会はあまりないです。