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e^xsinxの積分・e^xcosxの積分

e^xsinxとe^xcosxの積分

指数関数×三角関数の積分です。三角関数のところが sin の場合と cos の場合で符号が変わるだけなので覚えやすい公式だと思います。
 \[\begin{align*}\int e^{x}\sin xdx&=\frac{1}{2}e^{x}(\sin x-\cos x)+C\tag{1}\\\int e^{x}\cos xdx&=\frac{1}{2}e^{x}(\sin x+\cos x)+C\tag{2}\end{align*}\]
【証明】この種の積分は部分積分によって循環する性質を使います:
 \[\begin{align*}I&=\int e^{x}\sin xdx\\&=e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos xdx\\&=e^{x}\sin x- \left\{e^{x}\cos x+\int e^{x}\sin xdx \right\}\\&=e^{x}(\sin x-\cos x)-I\end{align*}\]
となるので、
 \[I=\frac{1}{2}e^{x}(\sin x-\cos x)\] 
が得られます。より一般的には次のような公式になります:
 \[\begin{align*}\int e^{mx}\sin nxdx&=\frac{e^{x}}{m^{2}+n^{2}}(m\sin nx-n\cos nx)+C\tag{3}\\\int e^{mx}\cos nxdx&=\frac{e^{x}}{m^{2}+n^{2}}(n\sin nx+m\ cosnx)+C\tag{4}\end{align*}\]
さすがに覚える必要はありませんが、先ほど説明した「部分積分による循環」によって得られるということだけ頭の片隅に残しておいてください。指数関数×三角関数の積分の形は本当によくでてきます。

公式を応用して物理学などでよく見られる減衰振動関数の 0 から ∞ までの積分を計算してみましょう。公式 (3), (4) で $m=-a,\:n=1$ とおけば計算できます。
 \[\begin{align*}\int_{0}^{}e^{-ax}\sin bxdx=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\tag{5}\\
\int_{0}^{}e^{-ax}\cos bxdx=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\tag{6}\end{align*}\]
物理学部の学生さんなら、ひと目見て思い浮かぶようにしておきたいところです。

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