[指数関数] × [三角関数] と減衰振動関数の積分

exsinx と excosx の積分
 Integral of exsinx, Integral of excosx

 [指数関数] × [三角関数] の積分です。三角関数のところが sin の場合と cos の場合で符号が変わるだけなので覚えやすい公式だと思います。
 
\[\begin{align*}
\int e^{x}\sin xdx&=\frac{1}{2}e^{x}(\sin x-\cos x)+C\tag{1}\\
\int e^{x}\cos xdx&=\frac{1}{2}e^{x}(\sin x+\cos x)+C\tag{2}\end{align*}\]
 [証明] この種の積分は部分積分によって循環する性質を使います:
 
\[\begin{align*}I&=\int e^{x}\sin xdx\\
&=e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos xdx\\
&=e^{x}\sin x- \left\{e^{x}\cos x+\int e^{x}\sin xdx \right\}\\
&=e^{x}(\sin x-\cos x)-I\end{align*}\]
 
となるので、
\[I=\frac{1}{2}e^{x}(\sin x-\cos x)\] 
が得られます。より一般的には次のような公式になります:
 
\[\begin{align*}\int e^{mx}\sin nxdx&=\frac{e^{x}}{m^{2}+n^{2}}(m\sin nx-n\cos nx)+C\tag{3}\\
\int e^{mx}\cos nxdx&=\frac{e^{x}}{m^{2}+n^{2}}(n\sin nx+m\ cosnx)+C\tag{4}\end{align*}\]
 さすがに覚える必要はありませんが、先ほど説明した「部分積分による循環」によって得られるということだけ頭の片隅に残しておいてください。[指数関数] × [三角関数] の積分の形は本当によくでてきます。
 

減衰振動関数の積分
 Integral of Damped oscillation function

 物理学などでよく見られる減衰振動関数の 0 から ∞ までの積分公式です。
 公式 (3), (4) で m = - a, n = 1 とおけば計算できます。
 
\[\begin{align*}\int_{0}^{}e^{-ax}\sin bxdx=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\tag{5}\\
\int_{0}^{}e^{-ax}\cos bxdx=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\tag{6}\end{align*}\]
 物理学部の学生さんなら、ひと目見て思い浮かぶようにしておきたいところです。

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