解と係数の関係

二次方程式の係数と解の間には次のような関係があります：

二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の２解を $\alpha,\;\beta$ とすると、
\[\alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad\alpha\beta=\frac{c}{a}\]が成り立つ。

【定理の証明】解の公式を用いると $ax^2+bx+c=0$ の解は
\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\]
なので、
\[\alpha=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a},\quad\beta=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\]
とおくと、

\[\begin{align*}\alpha+\beta=&-\frac{b}{2a}(1+\sqrt{D}+1-\sqrt{D})=-\frac{b}{a}\\[6pt]\alpha\beta=&\frac{1}{4a^2}(-b+\sqrt{D})(-b-\sqrt{D})=\frac{c}{a}\end{align*}\]
となります。■

公式ではありませんが、
\[\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=-\frac{b}{c}\]
も覚えておくと便利です。

$3x^2+2x-1=0$ を例に解と係数の関係を確認しておきましょう。定理を用いると
\[\alpha+\beta=-\frac{2}{3},\quad \alpha\beta=-\frac{1}{3}\]
となります。方程式の左辺を因数分解して
\[(3x-1)(x+1)=0\]
より $x=-1,\:1/3$ ですから、$\alpha=-1,\:\beta=1/3$ とおくと
\[\alpha+\beta=-\frac{2}{3},\quad \alpha\beta=-\frac{1}{3}\]
となって、定理から導いた値と一致しています。

三次方程式の解と係数の関係も見ておきましょう。

三次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の解を $\alpha,\;\beta,\:\gamma$ とすると
\[\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a},\quad\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a},\quad\alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}\]が成り立つ。

【定理の証明】$\alpha,\;\beta,\:\gamma$ を解にもつ方程式は
\[a\:(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0\]
と書くことができます。左辺を展開すると
\[\begin{align*}x^3-&(\alpha+\beta+\gamma)x^2\\[6pt]+&(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)-\alpha\beta\gamma\end{align*}\]
となるので、係数を比較すると上の公式を得ることができます。■