階差数列の規則と一般項

階差数列

隣り合う二項間の差をとって
 $$a_{n+1}-a_n=b_n$$
のように定義された数列 $b_n$ をもとの数列 $a_n$ の 階差数列 (progression of differences) とよびます。一見して数列の規則性が見えにくい場合でも、階差数列を考えることにより元の数列の規則性（一般項）をつきとめることができる場合もあります。
 $$a_{n+1}=a_n+b_n$$
ですから、初項から順に書き並べると
 $$\begin{array}{rl}& a_1\\ & a_2=a_1+b_1\\ & a_3=a_1+b_1+b_2\\ & a_4=a_1+b_1+b_2+b_3\\ & \cdots \cdots \cdots \\ & a_n=a_1+b_1+b_2+b_3+\cdots +b_{n-1}\end{array}$$
のようになるので、数列 $a_n$ の一般項は
 $$a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}{b}_k=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)$$
と表すことができます。たとえば、次のような数列を考えてみます。
 $$1,2,4,7,11,16,\cdots$$
隣り合う 2 項間の差をとってみると
 $$1,2,3,4,5,6,\cdots$$
となっていますね。ですから階差数列の一般項は
 $$b_n=n$$
という等差数列になっています。よって、$a_n$ の一般項は
 $$a_n=1+\sum _{k=1}^{n-1}k$$
と表せます。等差数列の和の公式を用いると
 $$a_n=1+\frac{1}{2}(n-1)n=\frac{1}{2}(n^2-n+2)$$
となります。実際に検算してみると
 $$\begin{array}{rl}& a_1=\frac{1}{2}(1^2-1+2)=1\\ & a_2=\frac{1}{2}(2^2-2+2)=2\\ & a_3=\frac{1}{2}(3^2-3+2)=4\end{array}$$
となって、確かに先ほどの数列と一致していますね。次は平方数を順に並べた数列 $a_n=n^2$
 $$1,4,9,16,25,36,\cdots$$
の階差をとってみると
 $$3,5,7,9,11,\cdots$$
となって、これは初項 3, 公差 2 の等差数列です。もとの数列の形 $a_n=n^2$ はすでにわかっていますが、あえて階差を用いて一般項を求めてみると …
 $$a_n=1+\frac{1}{2}(n-1)\{2\cdot 3+2(n-2)\}=n^2$$
となるので、確かに合っています。