10 の位と 1 の位に注目して掛け算します

10 の位が等しく 1 の位の合計が 10 となる数同士の掛け算

　タイトルの意味が分かりにくいかもしれませんが、

　

　このような計算を素早く行うことを解説します。

　結論から言うと、計算法は次のようになります。

　

　片方の数の 10 の位と、もう一方の数の 10 の位に + 1 して掛け合わせて 100 の位とします。
　1 の位同士を掛け合わせて右横に書きます。
　どうしてこのような計算法が成り立つのか、これまで学んできた文字式を使って説明します。
　

2 桁の数を表す式

　2 桁の数は 2 つの文字 a, b を使って

10 a + b

と表すことができます。ただし、

a = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
b = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

という数に限定されます。ちょっと試してみましょう。

　a = 5, b = 3 とすれば

10 a + b = 10 × 5 + 3 = 53

となり、a, b はそれぞれ 10 の位と 1 の位を表していることがわかります。

　a, b にそれぞれ最小の数 1, 0 を入れると、

10 a + b = 10 × 1 + 0 = 10

　これは 2 桁の数の中で最小数ですね。

　a, b にそれぞれ最大の数 9 を入れると、

10 a + b = 10 × 9 + 9 = 99

となり、 2 桁の数の中で最大数であることが示されました。
　

10 の位が等しく 1 の位の合計が 10 となる 2 桁の数の積

　冒頭で紹介したような数を一般的な式で表すにはどうしたらよいでしょうか？　とりあえず、 1 つめの数はそのまま

m = 10 a + b

とおくことにします。問題は 2 つめの数をどう定めるかということです。 10 の位は m と等しいので、そのまま同じ 10 a とします。 1 の位については「足して 10 」となるように、

10 － b

と書くことができます（b + 10 － b = 10）。つまり 2 つめの数 n は

n = 10 a + 10 － b

と表せます。m と n を掛けると

　　m n = (10 a + b)(10 a + 10 － b)
　　　　= 100 a² + 100 a － 10 a b + 10 ab + 10b － b²
　　　　= 100 a² + 100 a + 10b － b²
　　　　= 100 a (a + 1) + b (10 － b)

という式が得られます。 a (a + 1) は「 m の 10 の位の数」と「 n の 10 の位の数に 1 を加えた数」の積を表していますし、 b (10 － b) は 1 の位の数同士の掛け算そのままです。
　

具体的な計算例

　それではいくつか計算例を見ていきましょう。

　　14 × 16 = 224,　　36 × 34 = 1224,　　78 × 72 = 5616

　慣れると 1, 2 秒で計算できるようになります。
　まずは基本問題を練習しておきましょう。

問題①　次の式を計算してください

(1) 22 × 28　　(2) 39 × 31　　(3) 43 × 47
(4) 48 × 42　　(5) 53 × 57　　(6) 67× 63
(7) 81 × 89　　(8) 82 × 88　　(9) 96 × 94

問題①の解答

(1) 22 × 28 = 616　　(2) 39 × 31 = 1209　　(3) 43 × 47 = 2021
(4) 48 × 42 = 2016　　(5) 53 × 57 = 3021　　(6) 67× 63 = 4221
(7) 81 × 89 = 7209　　(8) 82 × 88 = 7216　　(9) 96 × 94 = 9024

　次のような式に応用してみます：

46 × 45

　46 × 44 を思い浮かべて、次のように変形します。

　　　46 × 45 = 46 × (44 + 1) = 46 × 44 + 46 = 2024 + 46 = 2070

　数が 2 つずれていても何とかなります：

　　　35 × 37 = 35 × (35 + 2) = 1225 + 70 = 1295

問題②　次の式を計算してください

(1) 29 × 22　　(2) 52 × 59　　(3) 26

問題②の解答

(1) 29 × 22 = (28 + 1) × 22 = 616 + 22 = 638
(2) 52 × 59 = 52 × (51 + 1) = 3016 + 52 = 3068
(3) 26² = 26 × 26 = 26 × (24 + 2) = 624 + 52 = 676
　

末尾が 5 の数字の平方数

　15, 25, …… のように 1 の位が 5 の数を 2 乗するときは、この計算法が使えます：

　　　25² = 25 × 25 = 625

　　　35² = 35 × 35 = 1225

　　　45² = 45 × 45 = 2025

　55² から 105² まで一気に計算してみましょう。

問題③　次の式を計算してください

(1) 55²　　(2) 65²　　(3) 75²
(4) 85²　　(5) 95²　　(6) 105²

問題③の解答

(1) 55² = 3025　　(2) 65² = 4225　　(3) 75² = 5625
(4) 85² = 7225　　(5) 95² = 9025　　(6) 105² = 11025
　

10 の位の合計が 10 で 1 の位が等しい数同士の掛け算

　今度は次のような計算を素早く行うことを解説します。

　

　また結論から載せますが、計算法は次のようになります。

　

　10 の位同士を掛け合わせて 1 の位を足して 100 の位とします。
　1 の位同士をそのまま掛け合わせて右横に書きます。

　それでは、この計算法が成り立つ理由を解説します。

文字を使った一般的な表示

　2 つの数 m, n を次のように表します。

m = 10 a + b,　n = 10(10 － a) + b

と表すことができます。ただし、

a = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
b = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

という整数に限定されます。m と n の 10 の位を示す数字は

a,　10 － a

は足し合わせると 10 になっていますね。 m と n の積をつくると、

　　m n = [10 a + b][10(10 － a) + b]
　　 　　= 10(10 a + b)(10 － a) + b (10 a + b)
　　 　　= 10(100 a － 10 a² + 10 b － a b) + 10 a b + b²
　　　 　= 100 a [a (10 － a) + b] + b²

　少し計算が難しいですけど、数学ではこういう計算が大切ですので、ぜひ紙に書いて練習するようにしてください。 a (10 － a) + b は「 10 の位同士を掛け合わせて 1 の位を足す」ことを、 b² は「 1 の位同士をそのまま掛け合わせる」ことを表していますね。
　

具体的な計算例

　それでは具体的な計算例を見ていきます。

19 × 96 = 1536,　　33 × 73 = 2409,　　65 × 45 = 2925

　冒頭の計算規則とよく見比べて確認してください。

問題①　次の式を計算してください

(1) 22 × 82　　(2) 47 × 67　　(3) 89 × 29
(4) 35 × 75　　(5) 49 × 51　　(6) 94× 14

問題①の解答

(1) 22 × 82 = 1804　　(2) 47 × 67 = 3149　　(3) 89 × 29 = 2581
(4) 35 × 75 = 2625　　(5) 49 × 51 = 2499　　(6) 94× 14 = 1316
　

公式からずれても計算できます

　公式から少しずれた場合でも工夫して応用できます：

22 × 83 = 22 × (82 + 1) = 1804 + 22 = 1826
47 × 68 = 47 × (67 + 1) = 3149 + 47 = 3196
35 × 76 = 35 × (75 + 1) = 2625 + 35 = 2660

　

10 の位が 5 、1 の位が等しい数の平方数

　10 の位が 5 で 1 の位が等しい数字を 2 乗するときは、この計算法が使えます：

　　51² = 51 × 51 = 2601

　　52² = 52 × 52 = 2704

　　53² = 53 × 53 = 2809

問題②　次の式を計算してください

(1) 54²　　(2) 55²　　(3) 56²
(4) 57²　　(5) 58²　　(6) 59²

問題②の解答

(1) 54² = 2916　　(2) 55² = 3025　　(3) 56² = 3136
(4) 57² = 3249　　(5) 58² = 3364　　(6) 59² = 3481