二階線形微分方程式
一般に次のような形の微分方程式
\[\frac{d^2}{dx^2}+p\frac{dy}{dx}+qy=r(x)\tag{A}\]
を 定数係数二階線形微分方程式 とよびます ($p,\:q$ は定数)。また上式で $r(x)=0$ とした方程式
\[\frac{d^2}{dx^2}+p\frac{dy}{dx}+qy=0\tag{B}\]
を 斉次方程式 (homogeneous equation) といい、さらに $p=0$ とした方程式
\[\frac{d^2}{dx^2}+qy=0\tag{C}\]
を二階線形微分方程式の 標準形 (canonical form) とよびます。一般に斉次方程式 (B) は標準形 (C) に帰着できます。$y=f(x)z(x)$ とおいて (A1) に代入すると
\[fz^{\prime\prime}+(2f’+pf)z’+(f^{\prime\prime}+pf’+qf)z=0\]
という方程式が得られます。ここで $z’$ の係数 $2f’+pf$ が 0 になるように $f$ を定めます。すなわち
\[2f’+pf=0\]
を解いて
\[f(x)=e^{-px/2}\]
が得られます。すると $z$ の係数は
\[f^{\prime\prime}+pf’+qf=\left(q-\frac{p^2}{4}\right)f\]
となるので、斉次方程式
\[\frac{d^2}{dx^2}+p\frac{dy}{dx}+qy=0\tag{B}\]
の一般解は
\[y=e^{-px/2}z(x)\]
で表されます。ここに $z(x)$ は標準形
\[\frac{d^2}{dz^2}+\left(q-\frac{p^2}{4}\right)z=0\]
の解です。
標準形方程式の解
標準形方程式
\[\frac{d^2}{dx^2}+qy=0\tag{C}\]
の解はその形から指数関数であることが予測できます。実際、複素数 $k$ を用いて $y=e^{kx}$ とおいて上式に代入してみると
\[(k^2+q)e^{kx}=0\]
すなわち $k^2=-q$ という関係式が得られます。
$q$ の符号によって解は 2 種類の形に分類されます。$m$ を正の実数とすると
① $q=-m^2\lt 0$、すなわち $k=\pm m$ のとき、一般解は
\[y=ae^{mx}+be^{-mx}\tag{C1}\]
という実数の指数関数で与えられます。
② $q=m^2\gt 0$、すなわち $k=\pm im$ のとき、一般解は
\[y=ce^{imx}+de^{-imx}\tag{C2}\]
というように複素指数関数で与えられます。
斉次方程式の解
斉次方程式
\[\frac{d^2}{dx^2}+p\frac{dy}{dx}+qy=0\tag{B}\]
の解の１つは $y=e^{\lambda x}$ の形で与えられます。代入してみると
\[\lambda^2+p\lambda+q=0\tag{B1}\]
という $\lambda$ に関する 2 次方程式が得られますが、この式は 特性方程式 (characteristic equation) とよばれます。そこで (B) の一般解を
\[y=e^{\lambda_1 x}z(x)\]
とおいて代入してみると
\[e^{\lambda_1 x}[z^{\prime\prime}+(2\lambda_1+p)z’+(\lambda_1^2+p\lambda_1+q)z)]=0\]
となりますが、特性方程式により
\[\lambda_1^2+p\lambda_1+q=0\]
なので、
\[z^{\prime\prime}+(2\lambda_1+p)z’=0\]
という式が得られます。これに $e^{(2\lambda_1+p)x}$ をかけると
\[\frac{d}{dx}[e^{(2\lambda_1+p)x}z’=0]\]
という形に書き直せます。特性方程式
\[\lambda^2+p\lambda+q=0\tag{B1}\]
の解と係数の関係 $\lambda_1+\lambda_2=-p$ を用いると
\[\frac{d}{dx}[e^{(\lambda_1-\lambda_2)x}z’=0]\]
積分すると $c$ を定数として
\[e^{(\lambda_1-\lambda_2)x}z’=c\]
これを解いて
\[z=\begin{cases}\cfrac{c}{\lambda_2-\lambda_1}e^{(\lambda_2-\lambda_1)x} & (\lambda_1\neq\lambda_2)\\[6pt]cx+a & (\lambda_1=\lambda_2)\end{cases}\]
となります。よって斉次方程式
\[\frac{d^2}{dx^2}+p\frac{dy}{dx}+qy=0\tag{B}\]
の一般解は $y=e^{\lambda_1 x}z(x)$ より
\[y=\begin{cases}ae^{\lambda_1x}+be^{\lambda_2x} & (\lambda_1\neq\lambda_2)\\[6pt](ax+b)e^{\lambda x} &(\lambda_1=\lambda_2)\end{cases}\tag{B2}\]
となります。ただし $\lambda_1,\:\lambda_2$ は特性方程式
\[\lambda^2+p\lambda+q=0\tag{B1}\]
の判別式 $D$ の値によって次のように分類されます。
① $D=p^2-4q\gt 0$ のとき、$r=\sqrt{p^2/4-q}$ とおくと
\[\lambda_1=-\frac{p}{2}+r,\quad\lambda_2=-\frac{p}{2}-r\]
② $D=p^2-4q= 0$ のとき、
\[\lambda_1=\lambda_2=-\frac{p}{2}\]
③ $D=p^2-4q\lt 0$ のとき、$s=\sqrt{q-p^2/4}$ とおくと
\[\lambda_1=-\frac{p}{2}+is,\quad\lambda_2=-\frac{p}{2}-is\]
斉次方程式は特性方程式を用いて簡単に解を求めることができます。たとえば
\[y^{\prime\prime}-3y’+2y=0\]
の特性方程式は
\[\lambda^2-3\lambda+2=0\]
です。これを解くと $\lambda=1,2$ なので一般解は
\[y=ae^x+be^{2x}\]
となります。また、
\[y^{\prime\prime}-4y’+4y=0\]
の特性方程式は
\[\lambda^2-4\lambda+4=0\]
です。これを解いて $\lambda=2$ 、一般解は
\[y=(a+bx)e^{2x}\]
となります。
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