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たすきがけで二次式を因数分解します

たすきがけ

今回はちょっと難しい因数分解
 \[acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)\tag{1}\]
に挑戦します。これはたすきがけとよばれる因数分解の手法で、$x$ の係数が $ad+bc$ という交差形(後述)になっていることに由来します。
 
とはいえ現代では たすきなんてものを見かける機会はほとんどないでしょうから、「たすき? 食べたことない」と思われるような若い方のために一応説明しておくと、 たすきとは和服姿の人が立ち働くときに、袖やたもとをたくし上げておくために肩から脇の下に通して背中で交差させて結ぶ紐のことです。

数学の話にもどりましょう。まず一度でよいので、手を動かして公式 (1) の右辺から左辺への展開を確認しておいてください。因数分解は左辺から右辺なので、4つの数 $a,\:b,\:c,\:d$ を見つけるには練習が必要です。そのために使うのが下のような図です。
 
因数分解たすきがけ説明図

縦に掛けて $x^2$ と定数項に一致するように、また同時にたすきがけして $x$ の係数に一致するように $a,\:b,\:c,\:d$ を探します。文字で見るだけではわかりにくいので、さっそく実例で練習しましょう。
 \[6x^2+7x+2\]
という式を因数分解することを考えます。
 
因数分解たすきがけ実例

図のように係数を赤いところに入れておいて、つじつまが合うように $a,\:b,\:c,\:d$ を決めていきます。適当にあたりをつけながら探します。 $ac=6$ から
 \[a=3,\quad b=2\]
かなあと推測してとりあえず書き留めておきます。外れたらまたあとでやり直せばよいのです。
 
因数分解たすきがけ実例2

今度は $bd=2,\:3d+2b=7$ となるように $b,\:d$ を決めます。
$bd=2$ はどちらかが $1$ で、もう片方は $2$ ですから二択となります。
$3d+2b=7$ となるのは $d=1,\:b=2$ ですね。
 
因数分解たすきがけ実例3

これで全てのマス目が埋まりました!
最後にもう1度つじつまが合っているかどうか確認して、
 \[6x^2+7x+2=(3x+2)(2x+1)\]
と因数分解の式を書いて完了です。もちろん実際にはマス目なんて書かなくてもいいですよ。4つの数字が書き込めるようにして、下と右横に係数を書いて作業してください。繰返しトレーニングすれば頭の中でできるようになります。パズルみたいなので、子供の頃の私はたすきがけが大好きでした。でも「たすきがけが好き!」というようなことを友人には言わないほうがいいです。「変なやつ」と思われるだけです。

エクセルや数学に関するコメントをお寄せください

  1. あとりえこばと より:

    AIに「たすきがけ」の名前の由来を訊いてみました。
     
    ChatGPT:「たすきがけ」という名称は、因数分解において、二つの数の積を因数に分解する手法を指します。この用語は、日本で一般的に使われる表現で、以下に由来があります。

    「たすきがけ」の語源は、日本の伝統的な衣服である「着物」や「浴衣」などの帯の結び方にあります。着物の帯を結ぶとき、二つの帯が重なり合っている様子が、数学的な因数分解における数の掛け算の構造に似ていることから、この名称が生まれたと考えられています。

    帯を交差させることで、数学的には二つの数が掛け算されていることを表現し、因数分解の手法が視覚的に理解しやすくなります。このため、「たすきがけ」は、因数分解の概念を視覚的に示すための比喩的な表現として用いられています。