全微分（二変数関数の微小変化）

二変数関数の微小変化

$z=f(x,y)=x^2+y^2$ において、変数 $(x,y)$ を点 $(1,1)$ から $(1.1,1.1)$ まで変化させたときに、$z$ がどの程度変化するのか計算してみます。
 $$\begin{array}{rl}f(1.1,1.1)-f(1,1)& =(1+0.1{)}^2+(1+0.1{)}^2-2\\ & =1+0.2+(0.1{)}^2+1+0.2+(0.1{)}^2-2\end{array}$$
ここで $(0.1{)}^2=0.01$ はとても小さな数なので無視すると
 $$f(1.1,1.1)-f(1,1)=2.2-2=0.2$$
と計算できます。もう少し一般化して曲面上の任意の点 $(x,y,z)$ から $x$ と $y$ を少しだけ動かしたときに $z$ がどのように変化するのか調べてみます。
 $$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }z& =(x+\mathrm{\Delta }x{)}^2+(y+\mathrm{\Delta }y{)}^2-x^2-y^2\\ & =x^2+2x\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2+y^2+2y\mathrm{\Delta }y+(\mathrm{\Delta }y{)}^2-x^2-y^2\\ & =2x\mathrm{\Delta }x+2y\mathrm{\Delta }y+(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2\end{array}$$
ここで $(\mathrm{\Delta }x{)}^2,(\mathrm{\Delta }y{)}^2$ は小さな数なので無視することにします。また
 $$2x=\frac{\partial f}{\partial x},2y=\frac{\partial f}{\partial y}$$
であることを使うと
 $$\mathrm{\Delta }z=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{\Delta }x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{\Delta }y$$
と表すことができます。$\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y,\mathrm{\Delta }z$ を極限まで小さくして $dx,dxdz$ で表すと
 $$dz=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$$
となります。これを $z$ の全微分とよびます。一般的な関数についての全微分については以下で解説します。

全微分

ある関数 $f(x)$ のテイラー展開において、$x-a$ の 2 次以上の項を $o(x-a)$ と書くと ($o$ はランダウの記号)、
 $$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+o(x-a)$$
と書くことができます。$x$ を $x+\mathrm{\Delta }x$, $a$ を $x$ に置き換えると
 $$f(x+\mathrm{\Delta }x)=f(x)+f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)$$
となります。これを踏まえて ($x,y$ で偏微分可能な) 2 変数関数について、曲面上の任意の点 $(x,y,z)$ から $x$ と $y$ を $x+dx,y+dy$ だけ変化させたときの $z$ の変化を計算してみます。
 $$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }z& =f(x+\mathrm{\Delta }x,y+\mathrm{\Delta }y)-f(x,y)\\ & =f(x+\mathrm{\Delta }x,y+\mathrm{\Delta }y)-f(x,y+\mathrm{\Delta }y)+f(x,y+\mathrm{\Delta }y-f(x,y)\\ & =f_x(x,y+\mathrm{\Delta }y)\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)+f_y(x,y)\mathrm{\Delta }y+o(\mathrm{\Delta }y)\end{array}$$
となります。ここで $f_x$ が連続であるとき
 $$f_x(x,y+\mathrm{\Delta }y)=f_x(x,y)+\epsilon$$
と書くことができます。ただし $y\to 0$ のとき $\epsilon \to 0$ です。すると
 $$\mathrm{\Delta }z=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{\Delta }x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{\Delta }y+\epsilon \mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta })+o(\mathrm{\Delta }y)$$
と書けます。$\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y\to 0$ にしたときに二次以上の微小量 （$\epsilon \mathrm{\Delta }x$ も含みます）を無視すると
 $$dz=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$$
と書くことができます。$dz$ を点 $(x,y)$ における全微分とよびます。