クラメルの公式で連立1次方程式を解きます

クラメルの公式 Cramer's rule of determinant solution

 クラメルの公式 は連立1次方程式を解くためのとても有用な公式です。
 スイスの数学者 G.Cramer によって示されたことから、その名がついています。
 

2 元 1 次連立方程式

 次のような 2 元 1 次の連立方程式を考えます。
 
\[\begin{align*}ax+by&=e \tag{1}\\cx+dy&=f \tag{2}\end{align*}\]
 この方程式の一般解は
 
\[x=\frac{\begin{vmatrix}
e & b\\ f & d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a & b\\ c & d\end{vmatrix}}=\frac{ed-bf}{ad-bc},\; \;
y=\frac{\begin{vmatrix}
a & e\\ c & f\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a & b\\ c & d\end{vmatrix}}=\frac{af-ec}{ad-bc}\]
によって与えられます。この公式は (1) と (2) に適当な係数をかけて引き算すれば簡単に求められますが、その手法は 3 元以上の場合に応用がききません。ここでは逆行列と行列式を用いた証明を載せておきます。

クラメルの公式の証明①

 逆行列を用いる証明法がもっとも一般的です。
 
\[\begin{align*}ax+by&=e \tag{1}\\cx+dy&=f \tag{2}\end{align*}\]
 
\[A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\]
とおいて、 (1) と (2) を行列形式で表します。
 
\[\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\binom{x}{y}=\binom{e}{f}\]
 ab - cd ≠ 0 のときにただ1つの解の組 (x, y) が存在します。
 両辺に左から逆行列 A-1 をかけると、
 
\[\binom{x}{y}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}\binom{e}{f}=\frac{1}{ad-bc}\binom{ed-bf}{af-ec}\]
となるので、
 
\[x=\frac{\begin{vmatrix}
e & b\\ f & d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a & b\\ c & d\end{vmatrix}}=\frac{ed-bf}{ad-bc},\; \;
y=\frac{\begin{vmatrix}
a & e\\ c & f\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a & b\\ c & d\end{vmatrix}}=\frac{af-ec}{ad-bc}\]
が成り立ちます。

クラメルの公式の証明②

\[\begin{align*}ax+by&=e \tag{1}\\cx+dy&=f \tag{2}\end{align*}\]
 係数と定数項をベクトル形式で
 
\[\vec{p}=\binom{a}{c},\; \; \vec{q}=\binom{b}{d},\; \; \vec{r}=\binom{e}{f}\]
のように表すと、
 
\[x\vec{p}+y\vec{q}=\vec{r}\]
と書くことができます。ここで \(\vec{q}\) との行列式を計算すると
 
\[\begin{align*}&\mathrm{det}(x\vec{p}+y\vec{q},\; \vec{q})=\mathrm{det}(\vec{r},\; \vec{q})\\
&\mathrm{det}(x\vec{p},\; \vec{q})+\mathrm{det}(y\vec{q},\; \vec{q})=\mathrm{det}(\vec{r},\; \vec{q})\\
&x\mathrm{det}(\vec{p},\; \vec{q})=\mathrm{det}(\vec{r},\; \vec{q})\end{align*}\]
 よって \(\mathrm{det}(\vec{p},\; \vec{q})\neq 0\) であれば、すなわち ad - bc ≠ 0 であるならば、
 
\[x=\frac{\mathrm{det}(\vec{r},\; \vec{q})}{\mathrm{det}(\vec{p},\; \vec{q})}=\frac{af-ec}{ad-bc}\]
となります。同様に \(\vec{p}\) との行列式を計算すると
 
\[y=\frac{\mathrm{det}(\vec{p},\; \vec{r})}{\mathrm{det}(\vec{p},\; \vec{q})}=\frac{ed-bf}{ad-bc}\]
が成り立ちます。
 

3 元 1 次連立方程式

 3 元の連立方程式
 
\[\begin{align*}a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\
a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\
a_3x+b_3y+c_3z=d_3\end{align*}\]
についても 2 元をそのまま拡張した形の公式となります。係数と定数項をベクトルで
 
\[\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix},\; \;
\vec{b}=\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix},\; \;
\vec{c}=\begin{pmatrix}c_1\\ c_2\\ c_3 \end{pmatrix},\; \;
\vec{d}=\begin{pmatrix}d_1\\ d_2\\ d_3 \end{pmatrix}\]
と表すと、
 
\[\begin{align*}x=\mathrm{det}(\vec{d},\; \vec{b},\; \vec{c})/\mathrm{det}(\vec{a},\; \vec{b},\; \vec{c})\\
y=\mathrm{det}(\vec{a},\; \vec{d},\; \vec{c})/\mathrm{det}(\vec{a},\; \vec{b},\; \vec{c})\\
z=\mathrm{det}(\vec{a},\; \vec{b},\; \vec{d})/\mathrm{det}(\vec{a},\; \vec{b},\; \vec{c})\end{align*}\]
となります。証明は省略しますが、先ほどの行列式を用いる方法がもっとも簡単です。

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