2 変数の関数(極限と連続の定義)

 

2 変数の関数 Functions of two variables

 2 つの変数 $(x,\:y)$ の組に対して $z$ の値が決まるとき、$z$ は $x$ と $y$ の関数 (function) といい、
 
\[z=f(x,\:y)\]
と表します。ここで $x$ と $y$ を独立変数 (independent variable)、$z$ を従属変数 (dependent variable) といいます。独立変数 $(x,\:y)$ が動く範囲( $xy$ 面上の領域)は定義域 (domain) とよばれます。定義域内の $(x,\:y,\:z)$ の集合は $xyz$ 空間における1つの曲面を表します。たとえば $z=xy$ は下図のような曲面を描きます。

 Excel解析学3Dグラフz=xy
 

2 変数の関数の極限
 Limit of functions of two variables

 下図のように定義域内の点 $P(x,\:y)$ がある点 $A(a,\:b)$ に近づくことを考えます。

 Excel2変数関数極限経路

 その経路は無数にあるわけですが、どのような近づき方をしても $f(x,\:y)$ が同じ値 $c$ に近づく場合に限って、$f(x,\:y)$ には極限が存在し、その極限値は $c$ であると定義し、次のような記号で表します。
 
\[\lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}f(x,\:y)=c\]
 この点 $A(a,\:b)$ は必ずしも定義域内に含まれているとは限らず、そのような点に対しても極限値が存在することがあります。

極限値が存在しない例

 次のような 2 変数の関数
 
\[f(x,\:y)=\frac{x^2}{x^2+y^2}\]
を考えます。この関数は $(0,\;0)$ を除いて全平面で定義される関数です。点 $P$ が $x$ 軸に沿って原点に近づくときは
 
\[\lim_{x\rightarrow 0}f(x,\:0)=\lim_{x\rightarrow 0}1=1\]
となりますが、一方で $y$ 軸に沿って原点に近づくときには
 
\[\lim_{y\rightarrow 0}f(0,\:y)=\lim_{y\rightarrow 0}0=0\]
という異なる値をとります。式だけではイメージが掴みにくいと思うので、Excel で描いた $z=f(x,\:y)$ の 3D グラフを載せておきます。

 Excel解析3Dグラフ不連続点

 $y$ 軸対象に2つの山があって、原点付近で尾根が細くなっています。わかりやすいように原点のところに隙間( $z$ 軸を中心とする細い円柱空洞)を開けていますが、実際にはこの空洞の半径は無限に小さいので尾根は細い線でつながっているように見えます。$x$ 軸に沿って極限をとるのは、この $z=1$ の尾根に沿って原点に近づくことを意味しています。一方で $y$ 軸に沿って極限をとるときは $z=0$ の谷に沿って空洞へ近づくので異なる値をとることになります。
 

2 変数の関数における連続の定義
 Continuity of functions of two variables

 2 変数の関数における連続の定義を載せておきます。

 点 $A(a,\:b)$ の近くで定義されている関数 $z=f(x,\:y)$ が次の条件を全て満たすとき、この関数は点 $A(a,\:b)$ で連続であるといいます。

 ① $z=f(x,\:y)$ が定義されている。

 ② $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}f(x,\:y)$ が存在する。

 ③ $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}f(x,\:y)=f(a,\:b)$

連続でない関数の例

 次のような 2 変数の関数
 
\[f(x,\:y)=\begin{cases}\cfrac{xy}{x^2+y^2} & ((x,\:y)\neq (0,\:0))\\
0 & ((x,\:y)=(0,\:0))\end{cases}\]
が原点で連続であるかどうか調べてみます。最初にグラフを載せておきましょう。

 Excel解析3Dグラフz=xy÷(x^2+y^2)

 原点で窪んだ所があります。これは先ほどの例であげたような無限に長い円柱空洞があるわけではなく、原点付近で $z=0$ と定義されているので、周囲と高さが著しく異なる場合があるというだけです。とくに $xy$ 平面上の直線 $y=x$ に沿った尾根とは落差が大きいですね。このことを数式で示してみましょう。まず $f(0,\;0)$ は定義されているので条件 ① は満たされています。$x$ 軸に沿って原点に近づくときは
 
\[\lim_{x\rightarrow 0}f(x,\:0)=0\]
であり、また $y$ 軸に沿って原点に近づくときは
 
\[\lim_{y\rightarrow 0}f(0,\:y)=0\]
となっていて、極限値が存在しているかのように思えますが、直線 $y=mx\:(m\neq 0)$ に沿って原点に近づけてみると
 
\[\lim_{x\rightarrow 0}f(x,\:mx)=\frac{m}{1+m^2}\neq 0\]
となってしまい、やはり極限値が存在していないことがわかります。したがってこの関数は原点で連続ではありません。 ≫ 数学辞典

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