【Excel】三角関数と逆三角関数

 この記事では Excel で三角関数と逆三角関数を計算する方法について解説します。VBA の三角関数については、こちらの記事を参照してください

三角関数の定義と基本公式

 下の図にあるように、直交座標に単位円 (半径 $1$ の円) を描き、円周上に適当な点 $P(x,y)$ をとります。

 このとき、余弦関数 (cosine function) と正弦関数 (sine function) を
 
\[\begin{align*}&\cos\theta=x\tag{1}\\[6pt]&\sin\theta=y\tag{2}\end{align*}\]
と定義します。$(\cos\theta,\ \sin\theta)$ は円周上の点なので、円の方程式 $x^2+y^2=1$ より
 
\[\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\tag{3}\]
が成り立ちます (ピタゴラスの基本三角関数公式)。またこのとき、正接関数 (tangent function) を
 
\[\tan\theta=\frac{x}{y}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\tag{4}\]
と定義します ($\tan\theta$ は線分 $OP$ の傾きです)。また、余弦関数、正弦関数、正接関数の逆数をそれぞれ正割関数 (secant function)、余割関数 (cosecant function)、余接関数 (cotangent function) とよび、それぞれ $\sec\theta,\ \csc\theta,\ \cot\theta$ で表します:
 
\[\begin{align*}&\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}\tag{5}\\[6pt]&\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}\tag{6}\\[6pt]&\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}\tag{7}\end{align*}\]
 Excel で $\sin 30^\circ=\sin\cfrac{\pi}{6}$ を計算してみましょう。Excel には正弦関数を計算する SIN 関数が用意されています。引数には弧度法の角度 (ラジアン) を渡します。適当なセルに

=SIN(PI()/6)

と入力すると「0.5」が得られます。同様に、$\cos 30^\circ=\cos\cfrac{\pi}{6}$ を計算するときは

=COS(PI()/6)

と入力します (戻り値は 0.866025404)。$\tan 30^\circ=\tan\cfrac{\pi}{6}$ を計算するときは

=TAN(PI()/6)

と入力します (戻り値は「0.577350269」)。

 角度を度数法で扱いたいこともあるでしょう。そのようなときは、RADIANS 関数 で度数法の角度をラジアンに変換してから三角関数に渡します。たとえば、$30^\circ$ の正弦関数を計算するときは、

=SIN(RADIANS(30))

と入力します (戻り値は 0.5)。Excel で計算するうえでは、こちらのほうが見た目がスマートな表記といえるかもしれません。

 $\theta=\cfrac{\pi}{6}$ のときに、ピタゴラスの基本三角関数公式 (3) が成立していることを確認してみましょう。

=COS(RADIANS(30))^2+SIN(RADIANS(30))^2

と入力すると「1」が返ります。

 Excel に用意されている 6 種類の 三角関数 (SIN, COS, TAN, SEC, CSC, COT) について、以下で簡単に使い方を解説しておきます。

【Excel】SIN

 Excel の SIN は受け取った数値の正弦値 (sine) を返します。数値はラジアンで指定します。たとえば、

=SIN(PI())

と入力すると 1.22515E-16 が返ります。値が 0 にはならないのは PI関数が円周率の近似値を返すからです。ただし、

=SIN(PI()/2)

と入力すると sin(π/2) が計算されて「 1 」が返ります。これは内部処理によって、このような値を返すように設定されているからです。このように、Excel で三角関数を扱うときには正確な値を返す場合と、そうでない場合があるので十分に注意する必要があります。角度を度数法で指定したいときは「度」から「ラジアン」へ変換する RADIANS関数をネストします。たとえば

=SIN(RADIANS(45))

とすると、sin45°が計算されて「0.7071…」が返ります。

【Excel】COS

 Excel の COS は受け取った数値の余弦値 (cosince) を返します。数値はラジアンで指定します。たとえば、

=COS(PI())

と入力すると cosπ が計算されて「-1」が返ります。角度を度数法単位で指定したいときは「度」から「ラジアン」へ変換する RADIANS関数を併用します。たとえば

=COS(RADIANS(30))

とすると、cos30°が計算されて「0.8660…」が返ります。

【Excel】TAN

 Excel のTAN は、受け取った数値の正弦値 (tangent) を計算します。数値はラジアンで指定します。たとえば、

=TAN(PI()/4)

と入力すると tan(π/4) が計算されて「 1 」という値が返ります。角度を度数法単位で指定したいときは「度」から「ラジアン」へ変換する RADIANS 関数をネストしてください。たとえば

=TAN(RADIANS(60))

とすると、tan60°が計算されて「1.7320…」が返ります。

【Excel】SEC

 Excel の SEC は受け取った数値の正割値 (secant) を計算します。SEC 関数は COS 関数の逆数関係にあり、

=1/COS(数値)

と同じ値を返します。数値はラジアンで指定します。たとえば、

=SEC(PI()/4)

と入力すると sec(π/4) が計算されて「1.4142…」が返ります。角度を度数法で指定したいときは RADIANS 関数を併用します。たとえば

=SEC(RADIANS(45))

とすると、sec45°が計算されて「1.4142…」が返ります。

【Excel】CSC

 Excel の CSC は受け取った数値の余割値を計算します。CSC 関数は SIN 関数の逆数として定義されていて、

=1/SIN(数値)

と同じ値を返します。数値はラジアンで指定します。たとえば、

=CSC(PI()/2)

と入力すると csc(π/2) が計算されて「1」が返ります。角度を度数法単位で指定したいときは RADIANS 関数をネストします。たとえば

=CSC(RADIANS(90))

とすると、csc90°が計算されて「1」が返ってきます。

【Excel】COT

 Excel の COT は受け取った数値の余接値を計算します。COT 関数は TAN 関数の逆数として定義されていて、

=1/TAN(数値)

と同じ値を返します。数値はラジアンで指定します。たとえば、

=COT(PI()/6)

と入力すると csc(π/6) が計算されて「1.7320…」が戻ります。角度を度数法単位で指定するときは RADIANS 関数をネストしてください。たとえば

=COT(RADIANS(30))

とすると、cot30°が計算されて「1.7320…」が返ります。

逆三角関数

 逆三角関数は三角関数の逆関数として定義されます。たとえば、逆正弦関数 (arcsine)
 
\[y=\arcsin{x}\]
において、$x$ と $y$ は $x=\sin{y}$ の関係を満たすものとします。同様に逆余弦関数 (arccosine)
 
\[y=\arccos{x}\]
は $x=\cos{y}$ を満たす関数であり、逆正接関数 (arctangent)
 
\[y=\arctan{x}\]
は $x=\tan{y}$ を満たす関数です。

 以下で、Excel に用意されている 4 種類の 逆三角関数 について解説します。

【Excel】ASIN

 Excel の ASIN は正弦値 (sinx) から角度 x を求める関数です。

=ASIN(数値)

 数値は -1 ~ 1 の範囲で指定します。戻り値の角度は -π/2 ~ π/2 ラジアンとなります。たとえば

=ASIN(1)

とすると sinx = 1 を満たす角度「1.571」が戻ります。戻り値を度数法で表示したい場合は [ラジアン] から [度] に変換する DEGREES 関数をネストします。たとえば

=DEGREES(ASIN(1))

と入力すると sinx = 1 を満たす角度「90」を得ます。

【Excel】ACOS

 Excel の ACOS は余弦値 (cosx) から角度 x を求める関数です。

=ACOS(数値)

 数値は -1 ~ 1 の範囲で指定します。戻り値は 0 ~ π ラジアンです。たとえば

=ACOS(0.5)

とすると sinx = 1/2 を満たす角度「1.047」が戻ります。戻り値を度数法単位で表示する場合は [ラジアン] から [度] に変換する DEGREES 関数を用います。たとえば

=DEGREES(ACOS(1))

と入力すると cosx = 0.5 を満たす角度「60」を得ます。

【Excel】ATAN

 Excel の ATAN は正接値 (tanx) から角度 x を求める関数です。

=ATAN(数値)

 任意の数値が指定できます。戻り値は -π/2 ~ π/2 ラジアンです。たとえば

=ATAN(1)

とすると tanx = 1 を満たす角度「0.785」が戻ります。戻り値を度数法で表示する場合は DEGREES関数 を併用します。たとえば

=DEGREES(ATAN(1))

と入力すると tanx = 1 を満たす角度「45」が返ります。

【Excel】ATAN2

 Excel の ATAN2 は xy直交座標で示される座標点から角度 x を求める関数です。

=ATAN2(x座標,y座標)

 戻り値は -ππラジアンです。たとえば

=ATAN(1,1)

とすると、原点 O と座標 (1, 1) を結ぶ直線が x 軸となす角度「0.785」を得ます。戻り値を度数法で表示する場合は DEGREES 関数を使ってください。たとえば

=DEGREES(ATAN2(1,1))

と入力すると角度「45」が返ってきます。

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