複素解析学問題集 Problems in Complex Analysis

 CX-01 複素数係数 1 次方程式
 CX-02 i の n 乗を計算します
 CX-03 三角級数の公式を求めます
 CX-04 複素数係数 2 次方程式
 CX-05 複素数平面上の直線方程式
 CX-06 実数でないことを証明します
 CX-07 1 の約数を求めます

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実数の解を得るために複素数が必要だったのです

 皆さんもご存知のように、虚数や複素数は 2 次方程式のような初等的な問題でいきなり顔を覗かせます。現れたからには付き合ってやるしかないと思うのですが、なんと昔の数学者は「 ...... √ の中身が負になるような解なんて見なかったことにしよう。解なし」としていたのです。
 でもそんな見て見ぬふりができるのも、16 世紀になって 3 次方程式の解法が現れるまでのことでした。 2 次方程式のときとは異なり、 3 次方程式においては実数解を得るためにもいったん複素数の計算を経由しなくてはならなかったのです。
「 ...... わかったよ。お前の存在を認めてやるよ。認めりゃいいんだろ」
と言ったかどうかは定かではありませんが、ようやく虚数と複素数は数学世界で市民権を得ることができたわけです。
 いったん認めてしまうと、研究が進むにつれ複素数の世界がいかに豊穣であるかを知るようになります。特にレオンハルト・オイラー( Leonhard Euelr)による有名な

exp(ix) = cosx + i sinx

という公式は指数関数と三角関数を虚数で結びつけることに成功し、解析学を新たな境地へと導きます。そしてやがて美的観点からもその実用性からも類まれなる定理(コーシーの積分定理)の発見へとつながるのですが、あまり急ぎ過ぎてもいけません。まずは演習問題を通して複素数の世界に慣れることから始めましょう。
 

複素数解析学(複素関数論)の用語集

 リーマンの写像定理/ピカールの定理/曲線のホモトピー類/正則凸性/ルンゲの近似定理/クザン問題/カルタン-トゥルレンの定理/ミッタグ・レフラーの定理/等角写像/調和関数/ディリクレ問題/リーマンの写像定理/グリーン関数/ポアソン積分表示/ペロン族/バリア/モジュラー関数/楕円曲線/ワイエルシュトラスの標準形/モジュライ空間/劣調和関数/ペーリー・ウィーナー定理/メリン変換/ポアソンの和公式/テータ関数/アダマールの因数分解定理/ジョルダンの曲線定理

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