正八角形と少なくとも1辺を共有する三角形を数えます

算数問題61 正八角形と少なくとも1辺を共有する三角形

 正八角形の 3 個の頂点を結んで三角形を作ります。このとき正八角形と 少なくとも1辺を共有する三角形 は全部でいくつありますか?

【ヒント】何はともあれ正八角形の図を描きましょう。きちんと図を描いてみれば意外と簡単な問題です。「少なくとも1辺を共有する」ということは …

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解答61 2種類の三角形があります

 少なくとも1辺を共有する とありますから、2辺を共有する三角形 も含みます。つまり下図のように2種類の三角形をかぞえればよいことになります。

 正八角形と辺を共有する三角形

 まず1辺を共有する緑色の三角形について考えてみます。ある1つの辺を選んだとします。3つめの頂点として、その辺の隣にある頂点は選べないので、それを除いた残る4つの頂点と結んで三角形をつくることになります。つまり1辺につき4つの緑色の三角形ができるので、全部で

8 × 4 = 32個

の三角形をつくることができます。次に2辺を共有する赤い三角形について考えると、これは頂点の数に等しく、つまり全部で8個の三角形があります。ですから三角形は全部で

32 + 8 = 40個

となります。

【補足】ついでに一般に n 角形の頂点を結んで作られる三角形もかぞえてみます(ただし n≧4)。数え方は上の解答とまったく同じです。1辺を共有する三角形は、1つの辺について、その辺を結ぶ2点と隣の2点をのぞいた4点を除いた数だけあるので、全部で

n(n-4)個

あります。2辺を共有する赤い三角形は頂点の数に等しいので n 個です。つまり全部で

n(n-4) + n = n(n-3)個 (n≧4)

あります。ここで n = 8 とすれば正八角形のときにつくられる三角形の数

n(n-3) = 8 × 5 = 40個

が得られます。

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