二等辺三角形の面積を最大にする角度を求めます

算数問題62 二等辺三角形の面積を最大にする角度

 図のように AB と AC の長さが等しい二等辺三角形 ABC があります。この 二等辺三角形 ABC の面積を最大にする ∠BAC の大きさを求めてください。
二等辺三角形の面積を最大にする角度
 
 
 
 
 
 
 
 
 
【ヒント】パズルのような問題です。もちろん三角形の面積の公式を使って考えるのですが、問題文では具体的な辺の長さなどは一切与えられていません。つまり実際に計算する必要はないということです。実は二等辺三角形の面積は「円」と密接な関係があります。

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解答62 AB を下にして考えます

 三角形の面積は

面積 = 底辺 × 高さ ÷ 2

で求められます。そこで問題図の三角形を横倒しにして底辺を AB とし、C から底辺 AB に下ろした垂線の長さを高さ h とします。

底辺をABとした三角形

 AB はそのまま固定して C だけ動かすと、それに応じて高さ h も変化します。図にあるように ∠BAC が直角のとき、AC が三角形 ABC の高さ h となって、またこのとき h が最大となります。よって二等辺三角形を最大にするのは ∠BAC = 90°のときです。

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