11 で割ると商と余りの数が同じになります

問題31 11 で割ると商と余りの数が同じです

 11 で割ると商と余りが同じになるような自然数を全て求めてください。
 

問題31 のヒント(1つ見つけてから ... )

 問題の条件に当てはまる数字を1つ見つけてみましょう。

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解答31(ある数字の倍数であることに気づけば簡単です)

 まずは 11 で割り切れる数を探してみましょう。
 いちばん簡単な数は 11 自身です。あえて書くなら

11 ÷ 11 = 1

です! きっちり割り切れます(当たり前です)。そして割られる数の 11 に 1 を加えて 12 としてみると

12 ÷ 11 = 1 ・・・ 1

となりますね。なので 12 は問題の条件に合う数の 1 つです。もう1つだけ考えてみましょう。 22 もまた 11 で割り切れますね。

22 ÷ 11 = 2

 そして 22 に 2 を足すと商と余りの数を同じにすることができます。

24 ÷ 11 = 2 ・・・ 2

 これで法則がわかりましたね。あとは同じように

33 + 3 = 36
44 + 4 = 48
55 + 5 = 60
66 + 6 = 72
77 + 7 = 84
88 + 8 = 96
99 + 9 = 108
110 + 10 = 120

というように数を作っていけば良いのです(途中で 12 の倍数であることに気づけばもっと簡単に計算できます)。しかし、これが永遠に続くわけではありません。 120 については

120 ÷ 11 = 10 ・・・ 10

となってちゃんと条件に合っていますけど、その次の数

121 + 11 = 132

については

132 ÷ 11 = 12

と割り切れてしまいます。商が割る数を超えてしまっているのです。となると、次は商が 12 で余りが 12 という数を見つけなくてはいけないのでしょうか? そんな数はありえないのです。 11 で割っているのに 12 も余っていたら変です(もしそうなったら計算間違いですよ)。 11 で割ったときは、その余りは 11 より小さくなっていなければなりません。なので 120 までが限界。正解をまとめると

12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96 , 108, 120

の合計 10 個ということになります。

補足(文字式を使って解くと ... )

 数学的に解くと次のようになります。商と余りを a とおいて

N = 11 a + a = 12 a (a ≦ 10)

と書けるので、N は 12 の倍数です。a ≦ 10 の範囲で並べると

12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96 , 108, 120

となります。 ≫ [問題32] 植木算 ≫ 算数問題31-60


 

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