【算数】11で割ると商と余りの数が同じになる自然数

【算数問題31】11 で割ると商と余りの数が同じになります

 11 で割ると商と余りが同じになるような自然数 を全て求めてください。
 
【ヒント】問題の条件に当てはまる数字を1つ見つけてみましょう。

【解答】まずは 11 で割り切れる数 を探してみましょう。
 いちばん簡単な数は 11 自身です。あえて書くなら
 
\[11\div 11=1\]
です。きっちり割り切れます(当たり前です)。そして割られる数の 11 に 1 を加えて 12 としてみると
 
\[12\div 11=1\cdots 1\]
となりますね。なので 12 は問題の条件に合う数の 1 つです。もう1つだけ考えてみましょう。 22 もまた 11 で割り切れますね。
 
\[22\div 11=2\]
 そして 22 に 2 を足すと商と余りの数を同じにすることができます。
 
\[24\div 11=2\cdots 2\]
 これで法則がわかりましたね。あとは同じように
 
\[\begin{align*}33+3&=36\\[6pt]55+5&=60\\[6pt]66+6&=72\\[6pt]77+7&=84\\[6pt]88+8&=96\\[6pt]99+9&=108\\[6pt]110+10&=120\end{align*}\]
というように数を作っていけば良いのです(途中で 12 の倍数であることに気づけばもっと簡単に計算できます)。しかし、これが永遠に続くわけではありません。 120 については
 
\[120\div 11=10\cdots 10\]
となってちゃんと条件に合っていますけど、その次の数
 
\[121+11=132\]
については
 
\[132\div 11=12\]
と割り切れてしまいます。商が割る数を超えてしまっているのです。となると、次は商が 12 で余りが 12 という数を見つけなくてはいけないのでしょうか? そんな数はありえないのです。 11 で割っているのに 12 も余っていたら変です(もしそうなったら計算間違いです)。11 で割ったときは、その余りは 11 より小さくなっていなければなりません。なので 120 までが限界。正解をまとめると
 
\[12,\ 24,\ 36,\ 48,\ 60,\ 72,\ 84,\ 96,\ 108,\ 120\]
の合計 10 個ということになります。

【補足】数学的に解くと次のようになります。商と余りを $a$ とおいて
 
\[N=11a+a=12a\quad (a\leq 10)\]
と書けるので、$N$ は $12$ の倍数です。$a\leq 10$ の範囲で並べると
 
\[12,\ 24,\ 36,\ 48,\ 60,\ 72,\ 84,\ 96,\ 108,\ 120\]
となります。

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