【算数】逆さまにすると見えるかも?

【算数問題28】逆順、逆回し、逆操作 …

 ある自然数に対して次のような操作を繰り返します。3 で割り切れるならそのまま割りますが、割り切れないなら割り切れるまで 1 を引きます。この操作は数が 0 になるまで続けるものとします。たとえば 15 という数を例にとると、
\[15\div 3=5,\quad 5-1=4,\quad 4-1=3,\quad 3\div 3=1,\quad 1-1=0\]
となって操作は計 5 回で終了します。操作が 4 回で終了する数を全て求めてください。

【ヒント】世の中、逆さま に見てみると、今まで見えていなかったものが見えたりするものです。

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【解答】操作を逆にたどると簡単です。 4 回目の操作で必ず
 
\[1-1=0\]
となるはずですね。ではこの 1 はどうやって得られるかというと、3 回目の操作
 
\[1=2-1\quad\mathrm{or}\quad 3\div 3\]
の 2 通りによって得られたはずです。2 については、3 から 1 を引かれて得られることはないので (3 のときは 3 で割られるので)、2 回目の操作
 
\[2=6\div 3\]
によって得られることになります。2 回目の操作で 3 が得られたのだとすると、
 
\[3=4-1\quad\mathrm{or}\quad 9\div 3\]
の 2 通りが考えられます。最後に 4, 6, 9 について、1 回目の操作は
 
\[\begin{align*}4&=5-1\quad\mathrm{or}\quad 12\div 3\\[6pt]
6&=7-1\quad\mathrm{or}\quad 18\div 3\\[6pt]
9&=10-1\quad\mathrm{or}\quad 27\div 3\end{align*}\]
がありうるので、4 回の操作で終了する数は
\[5,\ 7,\ 10,\ 12,\ 18,\ 27\]
となります。

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