因数分解 x2-a2

 今回は \(x^2-a^2=(x+a)(x-a)\) という形の因数分解の練習をします。
 やさしいように思えますが、少し込み入った形になると、それなりに練習を積んでおかないと素早く答えを出せません。
 

a が整数の場合

 まずは a が整数、つまり a2 が平方数になっている例を見ていきましょう。
 
\[\begin{align*}&x^2-9=(x+3)(x-3)\\
&x^2-25=(x+5)(x-5)\\&x^2-256=(x+16)(x-16)\end{align*}\]
 講座を始めたばかりの頃にも言いましたけど、
 
\[12^2=144,\:\:\:13^2=169,\:\:\:14^2=196\]
など、ある程度の数の平方数を覚えておかないと、素早く因数分解できないことがありますので、普段から隙間時間に頭の中で「 172 は ...... 」と練習しておいてください。
 

a が分数の場合

 次は a が分数となっているケースです。
 a2 は分子・分母ともに平方数となっています。
 
\[\begin{align*}&x^2-\frac{4}{9}=\left(x+\frac{2}{3} \right) \left(x-\frac{2}{3} \right)\\
&x^2-\frac{25}{16}=\left(x+\frac{5}{4} \right) \left(x-\frac{5}{4} \right)\end{align*}\] 

a が無理数の場合

 a2 が平方数とならない場合は無理数を使って因数分解します。
 
\[\begin{align*}&x^2-3=(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})\\
&x^2-11=(x+\sqrt{11})(x-\sqrt{11})\\
&x^2-8=(x+2\sqrt{2})(x-2\sqrt{2})\end{align*}\] 

x2 の前に係数がある場合

 \(a^2x^2-b^2=(ax+b)(ax-b)\) と分解するケースです。
 
\[\begin{align*}&4x^2-1=(2x+1)(2x-1)\\
&25x^2-9=(5x+3)(5x-3)\\
&12x^2-16=(2\sqrt{3}x+4)(2\sqrt{3}x-4)\end{align*}\]

問題 次の式を因数分解してください

(1) \(16x^2-6\)  (2) \(5x^2-28\)  (3) \((3+2\sqrt{2})x^2-4\)

解答

(1) \(16x^2-6=(4x+\sqrt{6})(4x-\sqrt{6})\)

(2) \(5x^2-28=(\sqrt{5}x+2\sqrt{7})(\sqrt{5}x-2\sqrt{7})\)

(3) これは少し厄介な問題で、 \(3+2\sqrt{2}\) の平方根をとると 2 重根号となってしまいます。そこで以前に学んだ方法で 2 重根号を外しておきます。公式
\[\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\]を使うと
\[\sqrt{3+2\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}\]となって 
\[(3+2\sqrt{2})x^2-4=[(1+\sqrt{2})x+2][(1+\sqrt{2})x-2]\]と因数分解することができます。

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