2 次式の因数分解

 これまでは \(x^2=c^2\) という簡単な 2 次方程式を扱ってきました。
 ここで c を左辺に移項して、
 
\[x^2-c^2=0 \tag{1}\]
と変形してみます。展開公式
 
\[(a+b)(a-b)=a^2-b^2\]
と見比べてみると (1) は
 
\[(x+c)(x-c)=0 \tag{2}\]
と書くことができますね。つまり

\(x-c=0\) または \(x+c=0\)

であれば方程式を満たすということです。これから

\(x=c\) , \(x=-c\)

という解を導くことができます。 \(x^2=c^2\) のような簡単な場合にわざわざこんなことをする必要はありませんが、もっと複雑な 2 次方程式を解くときに、左辺を因数分解して x を求めるという方法を用います。
 

因数分解とは?

 以前に自然数を素因数分解する方法を学びましたね。たとえば 18 = 2・3・3 のように、(それ以上細かくは分解できない)素数の積で表すことです。因数分解 とはこの整式バージョンで、n 次の多項式 をより次数の低い整式の積で表すことをいいます。
 実は素因数分解のことも単に因数分解とよぶこともあるのですが、それだと紛らわしいので、学校の教科書などでは 因数分解といえば整式の分解 であるとして素因数分解と区別しています。
 

展開公式を逆向きに使います

 2 次式の因数分解には以前に学んだ展開公式を用います。
 
\[\begin{align*}&(a+b)(a-b)=a^2-b^2\\
&(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\
&(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\
&(a+b)(a+c)=a^2+a(b+c)+cd\end{align*}\]
 方程式では x という文字を使うことが一般的なので、文字を置き換えた形で書き並べておきます。
 
\[\begin{align*}&(x+a)(x-a)=x^2-a^2\\
&(x+a)^2=x^2+2ax+a^2\\
&(x-a)^2=x^2-2ax+a^2\\
&(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\end{align*}\]
 上の 4 つの公式に加えて
 
\[(ax+b)(cx+d)=acx^2+(b+d)x+bd\]
という展開式もよく使われます。いずれにしても左辺から右辺への展開は難しくありませんが、右辺から左辺に素早く変形できるようになるためには、それなりの練習が必要となります。残念ながら、因数分解に関してはあまり特効薬のようなものはありません。もちろん、いくつか計算を楽にするテクニックはありますので、それは余さずに紹介していく予定です。次回からパターン別に分けた練習をします。

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