全ての公倍数は最小公倍数の倍数となっています



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 ⇒ 最小公倍数表をこちらに用意してあります。

公倍数と最小公倍数

 3 の倍数と 5 の倍数を並べてみましょう。
 九九表の 3 の列と 5 の列です。

  3, 6, 9, 12, 15, 21, 24, 27, 30, ......

  5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 ......

 そして共通する数に [ ] をつけてみます。

  3, 6, 9, 12, [15], 21, 24, 27, [30], 33, ......

  5, 10, [15], 20, 25, [30], 35, ......

 とりあえず 15 と 30 という共通の数が見つかりましたね。これが 公倍数 とよばれる数です。もっとたくさんの数を並べていくと、このような数は無限に見つかります。公倍数の中で一番数の小さいものを 最小公倍数 とよびます。 3 と 5 の最小公倍数はもちろん 15 ですね。これを記号で

{3, 5} = 15

と書くこともありますが、集合の { } と勘違いされることもあるので、使い方には注意が必要です(個人的には別の記号を作ったほうがいいと思っています)。

 実は 全ての公倍数は最小公倍数の倍数になっています。つまり 15 の倍数を並べて

  15, 30, 45, 60, 75, 90, ......

 これらの数が 3 と 5 の公倍数となっています。一見して当たり前のようにも思えますが、こんなに簡単なことでも全てのケースについて証明するのは、それなりに手順を踏まなくてはなりません。その証明は 10 月以降に予定されている『初等整数論講座』までお待ちください。とりあえず今のところは具体的な数字感覚を身につけておいてください。
 

問題①

 2 と 6 の最小公倍数を見つけて、公倍数を 5 つ並べてください。

問題①の解答

 2 の倍数と 6 の倍数を並べてみると、

  2, 4, 6, 8, 10, ......

  6, 12, 18, 24, 30, ......

ですから最小公倍数は 6 です。よってこのケースでは 6 の倍数

  6, 12, 18, 24, 30, ......

がそのまま 2 と 6 の公倍数となっています。
 

問題②

 2 と 3 の最小公倍数を見つけて、公倍数を 5 つ並べてください。

問題②の解答

 2 の倍数と 3 の倍数を並べてみると、

  2, 4, 6, 8, 10, ......

  3, 6, 9, 12, 15, ......

 最小公倍数は 6 ですから、6 の倍数

  3, 6, 9, 12, 15, ......

が 2 と 3 の公倍数です。
 

大きな数の最小公倍数

 少し数が大きくなると倍数を並べて最小公倍数を見つけるのは大変です。例として 126 と 210 の最小公倍数を考えてみましょう。下図のように 2 つの数に共通な約数で割っていきます。

 Excel最小公倍数の求め方①

 「これ以上は無理」というところまで割ります。すると

126 = 2・3・3・5     [a]
210 = 2・3・3・7     [b]

と積の形に分解されることがわかりますね。 [a] に 7, [b] に 5 を掛けると、

126・7 = 2・3・3・5・7
210・5 = 2・3・3・5・7

となって同じ数に揃うことになります。つまりこれが最小公倍数となっているはずですから、答えは

2・3・3・5・7 = 630

となります。
 

問題③

 315 と 495 の最小公倍数を求めてください。

問題③の解答

 共通の約数で割っていくと ......

 Excel最小公倍数の求め方②

 このようになります。現れた数を全て掛け合わせて

3・3・5・7・11 = 3465

が最小公倍数となります。

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