公約数と最大公約数、互いに素であるということの定義

 2 つの数に共通する約数が 公約数 、その中で最大のものを 最大公約数 とよびます。さっそく具体例で学んでいきましょう。(記事末に 約数表と最大公約数表 を載せてあります)

公約数と最大公約数

 24 と 30 の約数を並べてみます。

  24 の約数:1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
  30 の約数:1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

 24 と 30 の共通の約数、つまり公約数は

1, 2, 3, 6

であり、この中で最も大きな数 6 が最大公約数です。数論の記号を使って

(24, 30) = 6

と書くこともありますが、ベクトルや座標などと混同しやすいので注意が必要です。最大公約数は下図のように共通する約数で割れるところまで割って、左側の数を掛け合わせて得ることもできます。

 最大公約数を求める①
 

互いに素であるということ

 上の図から 24 と 30 を

24 = [2・3]・4, 30 = [2・3]・5

と書くことができます。[ ] の中が最大公約数です。そして残った 4 と 5 は互いに 1 以外の公約数をもっていません(もっていたら [ ] の中に入っているはずです)。なので、24 と 30 はともに係数 2・3 = 6 と、互いに 1 以外の公約数をもたない数 m, n を使って、

24 = 6 m, 30 = 6 n

というように書くことができます( m = 4, n = 5 )。ある未知の 2 数の最大公約数が与えられて、この「 m, n が互いに 1 以外の公約数をもたない」ということを「 m, n が互いに素である」という言い方をすることがあり、記号では

(m, n) = 1

と書きます。最大公約数は 1 であることを表しています。とくに整数問題では「互いに素である」ということはとても大切な概念ですので、これは絶対に覚えておいてください。慣れるために「互いに素である数」を上の記号を使って、いくつか載せておきます。

(1, 3) = 1, (4, 5) = 1, (3, 7) = 1, (5, 11) = 1, (13, 29) = 1

 いずれのペアも互いに 1 以外の公約数をもっていないことを確認しておいてください。

問題①

(1) 48 と 72 の最大公約数を求めてください。
(2) 48 と 72 の最小公倍数を求めてください。

問題①の解答

(1) 48 と 72 を共通の約数で割っていきます。

 最大公約数を求める②

 左側の数字を全部かけると

(48, 72) = 2・2・2・3 = 24

となります。

(2) 48 と 72 を素因数の積で表し、最大公約数を [ ] で括ると

48 = [2・2・2・3]・2
72 = [2・2・2・3]・3

と書くことができます。すると 48 に 3 を、72 に 2 をかけると同じ数になることがわかります。よって最小公倍数の記号 { } で表すと、

{48, 72} = 24・2・3 = 144

となります。

 一般にある数 a と b が互いの最大公約数を用いて

a = [最大公約数] × m, b = [最大公約数] × n

と表せるとき、最小公倍数は

{a, b} = [最大公約数] × m n

と表すことができます。

 方程式を解ける人は次の問題にもチャレンジしてみてください。

問題②

 ある 2 つの自然数の最大公約数は 3 であり、最小公倍数は 18 です。また、その和が 15 であることがわかっています。この 2 つの数を求めてください。

問題②の解答

 求める数を a, b (a < b)とおきます。 a と b の最大公約数が 3 ですから、互いに素な m, n を用いて

a = 3 m, b = 3 n

と書くことができます。足して 15 ですから、

3 m + 3 n = 15  ∴ m + n = 5

 最小公倍数が 18 なので、

3 m n = 18  ∴ m n = 6

 掛けて 6 となる自然数のペアは

1 と 6, 2 と 3

の 2 通りしかありませんが、このうち足して 5 になるのは 2 と 3 ですから、

a = 3・2 = 6, b = 3・3 = 9

となります。

 もっと勉強したい人は演習問題にチャレンジしましょう! ⇒演習問題 01
 

約数表

 自然数 1 ~ 100 の 約数表 です。
 約数が 2 つしかない自然数は素数です。

自然数 約数
 1 1
 2 1, 2
 3 1, 3
 4 1, 2, 4
 5 1, 5
 6 1, 2, 3, 6
 7 1, 7
 8 1, 2, 4, 8
 9 1, 3, 9
 10 1, 2, 5, 10
 11 1, 11
 12 1, 2, 3, 4, 6, 12
 13 1, 13
 14 1, 2, 7, 14
 15 1, 3, 5, 15
 16 1, 2, 4, 8, 16
 17 1, 17
 18 1, 2, 3, 6, 9, 18
 19 1, 19
 20 1, 2, 4, 5, 10, 20
 21 1, 3, 7, 21
 22 1, 2, 11, 22
 23 1, 23
 24 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
 25 1, 5, 25
 26 1, 2, 13, 26
 27 1, 3, 9, 27
 28 1, 2, 4, 7, 14, 28
 29 1, 29
 30 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
 31 1, 31
 32 1, 2, 4, 8, 16, 32
 33 1, 3, 11, 33
 34 1, 2, 17, 34
 35 1, 5, 7, 35
 36 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
 37 1, 37
 38 1, 2, 19, 38
 39 1, 3, 13, 39
 40 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
 41 1, 41
 42 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
 43 1, 43
 44 1, 2, 4, 11, 22, 44
 45 1, 3, 5, 9, 15, 45
 46 1, 2, 23, 46
 47 1, 47
 48 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
 49 1, 7, 49
 50 1, 2, 5, 10, 25, 50
 51 1, 3, 17, 51
 52 1, 2, 4, 13, 26, 52
 53 1, 53
 54 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54
 55 1, 5, 11, 55
 56 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56
 57 1, 3, 19, 57
 58 1, 2, 29, 58
 59 1, 59
 60 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
 61 1, 61
 62 1, 2, 31, 62
 63 1, 3, 7, 9, 21, 63
 64 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64
 65 1, 5, 13, 65
 66 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66
 67 1, 67
 68 1, 2, 4, 17, 34, 68
 69 1, 3, 23, 69
 70 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70
 71 1, 71
 72 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
 73 1, 73
 74 1, 2, 37, 74
 75 1, 3, 5, 15, 25, 75
 76 1, 2, 4, 19, 38, 76
 77 1, 7, 11, 77
 78 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78
 79 1, 79
 80 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80
 81 1, 3, 9, 27, 81
 82 1, 2, 41, 82
 83 1, 83
 84 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84
 85 1, 5, 17, 85
 86 1, 2, 43, 86
 87 1, 3, 29, 87
 88 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88
 89 1, 89
 90 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90
 91 1, 7, 13, 91
 92 1, 2, 4, 23, 46, 92
 93 1, 3, 31, 93
 94 1, 2, 47, 94
 95 1, 5, 19, 95
 96 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96
 97 1, 97
 98 1, 2, 7, 14, 49, 98
 99 1, 3, 9, 11, 33, 99
 100 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100

 

最大公約数表

 (2, 2) ~ (20, 30) の 最大公約数表 を画像ファイルにしておきました。コピーしてお持ち帰りください。そのままでは、やや小さくて見えにくいですが、閲覧するときは画像を拡大するなどしてご活用ください。

 最大公約数表GCD

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