数列の和 Σk(k + 1), Σk(k + 1)(k + 2)

Σ公式のまとめ

 Σk や Σk2 などは教科書にも載っている基本公式ですが、新しい公式と一緒にまとめて載せておきます。

\[\begin{align*}
&\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)\tag{1}\\
&\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)\tag{2}\\
&\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left [ \frac{n(n+1)}{2} \right ]^{2}\tag{3}\\
&\sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\tag{4}\\
&\sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)=\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)\tag{5}
\end{align*}\] 

Σk(k + 1)

 公式 (4) は公式 (1) と (2) から得られます:
\[\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n}k(k+1)&=\sum_{k=1}^{n}k^{2}\: +\: \sum_{k=1}^{n}k\\
&=\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)+\frac{1}{2}n(n+1)\\
&=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)
\end{align*}\]

計算例① 2 重和

 次のような 2 重和の計算に応用できます:
\[\begin{align*}
\sum_{m=1}^{n}\left ( \sum_{k=1}^{m}k \right )&=\sum_{m=1}^{n}\left [ \frac{1}{2}m(m+1) \right ]\\
&=\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)
\end{align*}\]

計算例② Σ(k + 2)(k + 3)

 番号がずれているときは次のように計算します:
\[\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n}(k+2)(k+3)&=3\cdot 4+4\cdot 5+\: \cdots \cdots +\: (n+2)(n+3)\\
&=\sum_{k=1}^{n+2}k(k+1)-1\cdot 2-2\cdot 3\\
&=\frac{1}{3}(n+2)(n+3)(n+4)-8\\
&=\frac{1}{3}n(n^{2}+9n+26)
\end{align*}\] 

Σk(k + 1)(k + 2)

 公式 (5) は公式 (1), (2), (3) によって証明されます:
\[\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)&=\sum_{k=1}^{n}(k^{3}+3k+2)\\
&=\frac{1}{4}\: n^{2}(n+1)^{2}+\frac{1}{2}\: n(n+1)(2n+1)+n(n+1)\\
&=\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)
\end{align*}\]

計算例③ 2 重和

 次のような 2 重和の計算に応用できます:
\[\begin{align*}
\sum_{m=1}^{n}\left ( \sum_{k=1}^{n}k^{2} \right )&=\sum_{m=1}^{n}\left [ \frac{1}{6} \: m(m+1)(m+2)\right ]\\
&=\frac{1}{24}n(n+1)(n+2)(n+3)
\end{align*}\]

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