異なる数字を使って 3 桁の数字を作りましょう

[問題 NT-16] 異なる数字を使って 3 桁の数字を作ります

 6 個の数字 0, 1, 2, 3, 4, 5 のうち、異なる数字を使って 3 桁の数字を作ることにしました。

(1) 偶数はいくつできますか。

(2) 奇数はいくつできますか。

(3) 3 の倍数はいくつできますか。

問題 NT-16 のヒント

 0 の扱いに注意しましょう。

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問題 NT-16 の解答

(1) 末位の数以外を空白(□)にして考えてみます。末位が 0 の場合、

□ □ 0

 □ には 0 以外の 5 つの数字の中から 2 つを取り出して並べる順列の個数なので、

5P2 = 5・4 = 20(通り)

 末位が 0 以外の場合の偶数、たとえば

□ □ 2

を考えたとき、100 位には 0 以外の数 {2, 3, 4, 5} を入れなくてはならないので 4 通りの数が入ります。 10 位には 0 も含めていいので残った数から 4 通りが選べます。なので

4・4 = 16(通り)

となります。 □ □ 4 の場合も同じく 16 通りです。全てのケースをまとめると、

□ □ 0  20(通り)
□ □ 2  16(通り)
□ □ 4  16(通り)

となるので、全部で

20 + 16 + 16 = 52(個)

が正解となります。

(2) 奇数の場合は末位が 1, 3, 5 のいずれかですから、先ほどと同じように頭に 0 がこないように注意して、

□ □ 1  4・4 = 16(通り)
□ □ 3  4・4 = 16(通り)
□ □ 5  4・4 = 16(通り)

となって、全部合わせると

3・16 = 48(個)

となります。

(3) 3 桁の自然数を

N = 100 a + 10 b + c

とおいてみると、

N = (99 + 1) a + (9 + 1) b + c = 99 a + 9 b + a + b + c

のように書けますから、各桁を足し合わせた a + b + c が 3 で割り切れるならば、 N は 3 の倍数であるということになります。 {0, 1, 2, 3, 4, 5} の中から 3 つ足し合わせて 3 の倍数であるような数を全部抜き出すと

(0, 1, 2), (0, 1, 5), (0, 2, 4), (0, 4, 5)
(1, 2, 3), (1, 3, 5), (2, 3, 4), (3, 4, 5)

となります。 0 を含んだ組合せを考えます。たとえば

□ □ □

の中に (0, 1, 2) を入れる場合、100 位の数は 0 以外の数が入るので 2 通り、残りの □ □ には 2 通りとなって、2・2 = 4(通り)となります。 0 を含んだ組合せは全部で 4 つあるので合わせて

4・4 = 16(通り)   [a]

です。 0 を含まない場合は 3 つの数の順列ですから 3! = 6(通り)となります。これも全部で 4 つあるので合わせて

4・6 = 24(通り)   [b]

最終的に [a] と [b] を合わせて求める数は

16 + 24 = 40(個)

となります。 ≫ [問題17] 3 桁の数の和を求めます ≫ 数学演習問題

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