非対称式x^2-xy+2y^2=7の整数解

【NT02】非対称式の整数解

$x^2-xy+2y^2=7$ を満たす整数解を求めてください。
 
【ヒント】二次式であることに着目します。
【解答】とりあえず $y$ のことはおいておいて、$x$ に関する二次方程式と考えます。
 $$x^2+(-y)x+2y^2-7=0$$
この式を判別式 $D$ を絞り込む手順として用います。
 $$D=y^2-4(2y^2-7)=-7y^2+28$$
なので、$y$ についての不等式 $D\ge 0$ を解くと、
 $$y^2\le 4$$
$y=0$ が方程式を満たしていないのは明らか（$x^2=7$ を満たす整数はない）ので $y$ の候補としては
 $$-2,-1,1,2$$
の 4 つの数が挙げられます。順に代入して確かめていきます。

[1] $y=-2$ のとき、$x^2+2x+1=0$ を解いて
 $$(x,y)=(-1,-2)$$
[2] $y=-1$ のとき、$x^2+x-5=0$ の整数解はなし。
 
[3] $y=1$ のとき、$x^2-x-5=0$ の整数解はなし。
 
[4] $y=2$ のとき、$x^2-2x+1=0$ を解いて
 $$(x,y)=(1,2)$$
以上より、$x^2-xy+2y^2=7$ を満たす整数解は
 $$(x,y)=(-1,-2),(1,2)$$
の2組となります。