非対称式 x^2-xy+2y^2=7 の整数解

【NT02】非対称式の整数解

 $x^2-xy+2y^2=7$ を満たす整数解を求めてください。

【ヒント】二次式であることに着目します。

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【解答】とりあえず $y$ のことはおいておいて、$x$ に関する二次方程式と考えます。
 
\[x^2+(-y)x+2y^2-7=0\]
 この式を判別式 $D$ を絞り込む手順として用います。
 
\[D=y^2-4(2y^2-7)=-7y^2+28\]
なので、$y$ についての不等式 $D\geq 0$ を解くと、
 
\[y^2\leq 4\]
 $y=0$ が方程式を満たしていないのは明らか($x^2=7$ を満たす整数はない)ので $y$ の候補としては
 
\[-2,\ -1,\ 1,\ 2\]
の 4 つの数が挙げられます。順に代入して確かめていきます。

[1] $y=-2$ のとき、$x^2+2x+1=0$ を解いて
 
\[(x,\ y)=(-1, -2)\]

[2] $y=-1$ のとき、$x^2+x-5=0$ の整数解はなし。

[3] $y=1$ のとき、$x^2-x-5=0$ の整数解はなし。

[4] $y=2$ のとき、$x^2-2x+1=0$ を解いて
 
\[(x,\ y)=(1, 2)\]
 以上より、$x^2-xy+2y^2=7$ を満たす整数解は
 
\[(x,\ y)=(-1, -2),\ (1,\ 2)\]
の 2 組となります。

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