非対称式x^2-xy+2y^2=7の整数解

【NT02】非対称式の整数解

$x^2-xy+2y^2=7$ を満たす整数解を求めてください。
 
【ヒント】二次式であることに着目します。

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【解答】とりあえず $y$ のことはおいておいて、$x$ に関する二次方程式と考えます。
 \[x^2+(-y)x+2y^2-7=0\]
この式を判別式 $D$ を絞り込む手順として用います。
 \[D=y^2-4(2y^2-7)=-7y^2+28\]
なので、$y$ についての不等式 $D\geq 0$ を解くと、
 \[y^2\leq 4\]
$y=0$ が方程式を満たしていないのは明らか（$x^2=7$ を満たす整数はない）ので $y$ の候補としては
 \[-2,\ -1,\ 1,\ 2\]
の 4 つの数が挙げられます。順に代入して確かめていきます。

[1] $y=-2$ のとき、$x^2+2x+1=0$ を解いて
 \[(x,\ y)=(-1, -2)\]
[2] $y=-1$ のとき、$x^2+x-5=0$ の整数解はなし。
 
[3] $y=1$ のとき、$x^2-x-5=0$ の整数解はなし。
 
[4] $y=2$ のとき、$x^2-2x+1=0$ を解いて
 \[(x,\ y)=(1, 2)\]
以上より、$x^2-xy+2y^2=7$ を満たす整数解は
 \[(x,\ y)=(-1, -2),\ (1,\ 2)\]
の 2 組となります。