三角形の面積を最小にする直線

【CL23】三角形の面積を最小にする直線

図のように $xy$ 座標の第 1 象限の点 $P$ を通るように直線を引き、その $x$ 軸との交点を $A$ , $y$ 軸との交点を $B$ とします。三角形 $AOB$ の面積を最小にするには直線 $AB$ をどのように引くべきですか？（茨城大一部改）
 
【ヒント】$P$ の座標を $(a,\:b)$ とおき、また $A,\:B$ の座標をそれぞれ $(c,\:0),\:(d,\:0)$ としたとき、$c \gt a,\:d \gt b$ は明らかです。そこだけ注意して、あとは面積を $c$ の関数として表して微分して調べます。

【解答】点 $P$ の座標を $(a,\:b)$ とおき、また $A,\:B$ の座標をそれぞれ $(c,\:0),\:(d,\:0)$ とします。また $AOB$ が三角形をつくるためには $c \gt a,\:d \gt b$ が条件となります。 $(c,\:0),\:(d,\:0)$ を通る直線の方程式は
 \[\frac{x}{c}+\frac{y}{d}=1\]
です。さらに点 $P(a,\:b)$ を通るので
 \[\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=1\]
という関係が成り立ちます。これを $d$ について解くと
 \[d=\frac{bc}{c-a}\]
となります。よって三角形 $AOB$ の面積は
 \[S(c)=\frac{1}{2}cd=\frac{bc^2}{2(c-a)}\]
と表されます。商の微分公式を使って導関数を求めると
 \[S'(c)=\frac{bc(c-2a)}{2(c-a)^2}\]
となります。$S'(c)=0$ とおくと $c=2a$ であり、また $c \gt a$ であることから、この前後で $S'(c)$ の符号は負から正へと変わり、他の点で符号が変化することもありません。つまり $c=2a$ は $S(c)$ が極小かつ最小となる点です。以上より、三角形 AOB の面積を最小にする には、下図のように、$\boldsymbol{P}$ が中点となるように直線を引けばよい ことがわかります。