背理法(帰謬法)による証明問題

 ある命題 $P$ が成り立たないと仮定して、矛盾が生じたとします。それはつまり仮定が間違っていたということで、やはり命題 $P$ は正しかったのだと結論できます。このような証明法を 背理法 (proof by contradiction) とよびます。あるいは難しい言葉で 帰謬法 (reduction to absurdity) とよぶこともあります。

【AG01】1+√2 が無理数であることの証明

(1) $n^2$ が偶数ならば $n$ は偶数であることを証明してください。
(2) $\sqrt{2}$ が無理数であることを証明してください。
(3) $1+\sqrt{2}$ が無理数であることを証明してください。

【ヒント】おそらく数千年前から存在する有名な問題ですが、無理数の無理数たる所以(?)の証明法を知っておくことは大切なので、代数学問題集の第 1 問に採用しました。(1) は (2) の準備問題で、おまけのようなものです。つまり (2) では (1) で証明したことを使えるような展開に持ち込めばよいのですが、それを知ってもやっぱり (2) は難しいです。(2) が解けたら、(3) は易しい問題です。

【解答】(1) そのままでは証明しにくいので、与えられた命題「$n^2$ が偶数ならば $n$ は偶数である」の対偶をとって、「$n$ が奇数ならば $n^2$ は奇数である」を証明します。これは簡単です。$n = 2 k + 1$ とおくと
 
\[n^2=(2k+1)^2=4k(k+1)+1\]
ですから、$n^2$ も奇数となっています。よって、もとの命題も真です。(証明終)

(2) 背理法 を使って証明します。つまり $\sqrt{2}$ を有理数だと仮定するのです。有理数であることの定義は、互いに素である(最大公約数が 1 である)数 $p,\ q$ によって
 
\[\sqrt{2}=\frac{q}{p}\]
の形に書けるということです。両辺を 2 乗して整理すると、
 
\[2p^2=q^2\]
ですから、$q^2$ は偶数です。すると、(1) で証明したように $q$ もまた偶数となるので $q = 2m$ とおくと
 
\[p^2=2m^2\]
という式が得られます。ですから $p$ も偶数ということになります。しかしそうすると、$p$ と $q$ の公約数に $2$ が存在することになり、互いに素であるという仮定に反します。よってこの仮定自体が誤りであり、$\sqrt{2}$ は無理数だということになります。(証明終)

(3) これも背理法で証明します。

\[1+\sqrt{2}=\alpha\]
とおいて、$\alpha$ が有理数であると仮定します。$1$ を右辺に移項して

\[\sqrt{2}=\alpha-1\]
とすると、右辺は有理数の差ですから有理数となっているはずです。しかし左辺は (2) で無理数だと示されているのですから、これは明らかに矛盾しています。ゆえに $1+\sqrt{2}$ は無理数です。(証明終)

【AG02】有理数が満たす条件

 $a,\: b\:, c$ を有理数とします。
\[a + b\sqrt{2} + c \sqrt{3} = 0\]ならば $a = b = c = 0$ でなければならないことを証明してください。

【ヒント】まず $a = 0$ 、それから $b = 0,\:c = 0$ と順に証明します。

【解答】$a = b = 0$ から $ab = 0$ を連想します。これは $a,\: b$ のどちらか一方が $0$ という意味ですから、与えられた条件とは異なります。しかしともかくも解答の取っ掛かりにはなりそうです。そこで $a b$ を引張り出すべく条件式を
 
\[a + b \sqrt{2} = -c\sqrt{3}\tag{1}\]
と書いてみます。両辺を 2 乗して式を変形していきます。
 
\[\begin{align*}&a^2+2ab\sqrt{2}b^2=3c^2\tag{2}\\[6pt]&2ab\sqrt{2}=3c^2-2b^2-a^2\tag{3}\end{align*}\]
 ここで $a b \neq 0$ を仮定すると
 
\[\sqrt{2}=\frac{3c^2-2b^2-a^2}{ab}\]
となりますが、左辺は無理数、右辺は有理数となって明らかに矛盾しています。なので、すくなくとも $a b = 0$ が成り立つことがわかります。すると (3) から
 
\[3c^2-2b^2-a^2=0\tag{4}\]
という式が得られます。今度は条件式を
 
\[a+c\sqrt{3}=-b\sqrt{2}\tag{5}\]
と書いて、2 乗して整理すると
 
\[2ac\sqrt{3}=2b^2-3c^2-a^2\tag{6}\]
が得られます。やはり $a c\neq 0$ と仮定すると矛盾しますので、$a c = 0$ となって、
 
\[2b^2-3c^2-a^2=0\tag{7}\]
という式が得られます。 (4) と (7) を加えると
 
\[a^2=0\]
すなわち $a=0$ となります。すると条件式は $b \neq 0$ を仮定すると
 
\[\frac{c}{b}=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\]
となりますが、これもまた左辺が無理数、右辺が有理数となって矛盾です。よって $b$ もやはり $0$ ということになり、結局、
 
\[a = b = c = 0\]
でなければならないことが示されました。(証明終)

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