親和数(自身を除いた約数の和が互いに等しくなる数)

NT20 親和数(友愛数)

 ある自然数 $N$ について約数の和を $S(N)$ と書くことにします。
 いま異なる2つの自然数 $m,\ n$ があって、
\[S(m)-m=S(n)-n\]が成り立つとき、$(m,\ n)$ は 親和数(amicable numbers) とよばれています。
(1) $220$ と $284$ が親和数であることを示してください。
(2) $1184$ と $1210$ が親和数であることを示してください。

【ヒント】全ての約数を求める必要はありません。「約数の和」が分かればいいのです。
 

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【解答】(1) $220$ を素因数分解すると
 
\[220=2^2\cdot 5\cdot 11\]
となります。その約数の総和は次のような展開式で計算できます。
 
\[S(220)=(1+2+2^2)(1+5)(1+11)=504\]
 この数字から $220$ 自身を差し引くと
 
\[S(220)-220=504-220=284\]
となっています。また $284$ を素因数分解すると
 
\[284=2^2\cdot 71\]
なので、約数の総和は
 
\[S(284)=(1+2+2^2)(1+71)=504\]
となり、$284$ を引くと
 
\[S(284)-284=220\]
となっています。よって
 
\[S(220)-220=S(284)-284\]
が成立しているので、$(220, 284)$ は親和数です。

(2) $1184$ を素因数分解すると
 
\[1184=2^5\cdot 37\]
となるので、その約数の和は
 
\[S(1184)=(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5)(1+37)=2394\]
となり、自身の数を引くと
 
\[S(1184)-1184=1210\]
となります。また $1210$ を素因数分解すると
 
\[1210=2\cdot 5\cdot 11^2\]
となるので、その約数の和は
 
\[S(1210)=(1+2)(1+5)(1+11+11^2=2394\]
となるので、自身の数 $1210$ を差し引くと
 
\[S(1210)-1210=1184\]
 よって、
 
\[S(1184)-1184=S(1210)-1210\]
が成立し、$(1184, 1210)$ は親和数であることが示されました。

【補足】自身を除いた約数の和が互いに等しくなる数のことを 親和数 または 友愛数 といいます。親和数(友愛数)については、ピタゴラスの時代から知られていましたが、その組合せはとても珍しいものです。問題文にある (220, 284) と (1184, 1210) は最小および2番目に小さい組合せです。その次は (2620, 2924) です。手計算で親和数を見つけるのは大変ですけど、 VBA などでプログラミングを組んで、しらみつぶしに探せば、大数学者オイラーが苦心して見つけた 60 個ぐらいなら簡単に超えることができます。気になる人は挑戦してみてください。現在までに知られている親和数は必ず偶数同士、奇数同士のペアになっていますが、まだ一般的には証明されていないようです。

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