親和数(自身を除いた約数の和が互いに等しくなる数)

[問題 NT-20] 親和数(友愛数)

 ある自然数 N について約数の和を S(N) と書くことにします。
 いま異なる2つの自然数 m, n があって、

S(m) - m = S(n) - n

が成り立つとき、(m, n) を 親和数(amicable numbers) とよびます。

(1) 220 と 284 が親和数であることを示してください。

(2) 1184 と 1210 が親和数であることを示してください。

問題 NT-20 のヒント

 全ての約数を求める必要はありません。「約数の和」が分かればいいのです。

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問題 NT-20 の解答

(1) 220 を素因数分解すると

22・5・11

となります。その約数の総和は次のような展開式で計算できます。

S(220) = (1 + 2 + 22)(1 + 5)(1 + 11) = 504

 この数字から 220 自身を差し引くと

S(220) - 220 = 504 - 220 = 284

となっています。また 284 を素因数分解すると

22・71

なので、約数の総和は

S(284) = (1 + 2 + 22)(1 + 71) = 504

となり、284 を引くと

S(284) - 284 = 220

となっています。よって

S(220) - 220 = S(284) - 284

が成立しているので、(220, 284) は親和数です。

(2) 1184 を素因数分解すると

1184 = 25・37

となるので、その約数の和は

S(1184) = (1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25)(1 + 37) = 2394

となり、自身の数を引くと

S(1184) - 1184 = 1210

となります。また 1210 を素因数分解すると

1210 = 2・5・112

となるので、その約数の和は

S(1210) = (1 + 2)(1 + 5)(1 + 11 + 112) = 2394

となりますから、自身の数 1210 を差し引くと

S(1210) - 1210 = 1184

 よって、

S(1184) - 1184 = S(1210) - 1210

が成立し、(1184, 1210) は親和数であることが示されました。

親和数(友愛数)

 自身を除いた約数の和が互いに等しくなる数のことを 親和(友愛数) といいます。親和数については、ピタゴラスの時代から知られていましたが、その組合せはとても珍しいものです。問題文にある (220, 284) と (1184, 1210) は最小および2番目に小さい組合せです。その次は (2620, 2924) です。手計算で親和数を見つけるのは大変ですけど、 VBA などでプログラミングを組んで、しらみつぶしに探せば、大数学者オイラーさんが苦心して見つけた 60 個ぐらいなら簡単に超えることができます。気になる人は挑戦してみてください。現在までに知られている親和数は必ず偶数同士、奇数同士のペアになっていますが、まだ一般的には証明されていないようです。

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