親和数(自身を除いた約数の和が互いに等しくなる数)

NT20 親和数(友愛数)

 ある自然数 $N$ について約数の和を $S(N)$ と書くことにします。
 いま異なる2つの自然数 $m,\ n$ があって、
\[S(m)-m=S(n)-n\]が成り立つとき、$(m,\ n)$ は 親和数(amicable numbers) とよばれています。
(1) $220$ と $284$ が親和数であることを示してください。
(2) $1184$ と $1210$ が親和数であることを示してください。

【ヒント】全ての約数を求める必要はありません。「約数の和」が分かればいいのです。

【解答】(1) 220 を素因数分解すると

22・5・11

となります。その約数の総和は次のような展開式で計算できます。

S(220) =  (1 + 2 + 22)(1 + 5)(1 + 11) = 504

 この数字から 220 自身を差し引くと

S(220) - 220 = 504 - 220 = 284

となっています。また 284 を素因数分解すると

22・71

なので、約数の総和は

S(284) = (1 + 2 + 22)(1 + 71) = 504

となり、284 を引くと

S(284) - 284 = 220

となっています。よって

S(220) - 220 = S(284) - 284

が成立しているので、(220, 284) は親和数です。

(2) 1184 を素因数分解すると

1184 = 25・37

となるので、その約数の和は

S(1184) = (1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25)(1 + 37) = 2394

となり、自身の数を引くと

S(1184) - 1184 = 1210

となります。また 1210 を素因数分解すると

1210 = 2・5・112

となるので、その約数の和は

S(1210) = (1 + 2)(1 + 5)(1 + 11 + 112) = 2394

となりますから、自身の数 1210 を差し引くと

S(1210) - 1210 = 1184

 よって、

S(1184) - 1184 = S(1210) - 1210

が成立し、(1184, 1210) は親和数であることが示されました。

【数学トピック】自身を除いた約数の和が互いに等しくなる数のことを 親和数 または 友愛数 といいます。親和数(友愛数)については、ピタゴラスの時代から知られていましたが、その組合せはとても珍しいものです。問題文にある (220, 284) と (1184, 1210) は最小および2番目に小さい組合せです。その次は (2620, 2924) です。手計算で親和数を見つけるのは大変ですけど、 VBA などでプログラミングを組んで、しらみつぶしに探せば、大数学者オイラーが苦心して見つけた 60 個ぐらいなら簡単に超えることができます。気になる人は挑戦してみてください。現在までに知られている親和数は必ず偶数同士、奇数同士のペアになっていますが、まだ一般的には証明されていないようです。
≫ [問題21] ブロカールの問題

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