少なくとも1つの実数解をもつことの証明

 

AG-14 少なくとも1つの実数解をもつことの証明

 実数を係数とする 3 つの 2 次方程式
 
\[\begin{align*}ax^2+2bx+c=0\qquad \qquad (1)\\[6pt]
bx^2+2cx+a=0\qquad \qquad (2)\\[6pt]
cx^2+2ax+b=0\qquad \qquad (3)\end{align*}\]
のうち、少なくとも1つは実数解をもつことを証明してください。(広島大)
 

AG-14 のヒント

 「少なくとも1つは実数解をもつ」ことの否定は?

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AG-14 の解答

 背理法を用います。「3つの方程式のうち少なくとも1つは実数解をもつ」の否定は「3つの方程式が全て虚数解をもつ」です。これを真実だと仮定します。

 それぞれの方程式の判別式を D1/4, D2/4, D3/4 とおくと
 
\[\begin{align*}D_1 /4=b^2-ac \lt 0\\[6pt]
D_2 /4=c^2-ab \lt 0\\[6pt]
D_3 /4=a^2-bc \lt 0\end{align*}\]
が全て成立しているはずです。全て加えると
 
\[\frac{1}{4}\:(D_1+D_2+D_3) \lt 0\]
となるはずですが、実際に計算すると
 
\[\begin{align*}\frac{1}{4}(D_1+D_2+D_3)=&\:a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\\[6pt]
=&\:\frac{1}{2} \:\{ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \} \geq 0\end{align*}\]
となって矛盾しています。したがって方程式 (1), (2), (3) のうち少なくとも1つは実数解をもつことが証明されました。
 
 

AG-15 係数に複素数を含む 2 次方程式

 次の2次方程式

\[x^2-(1+3\:i)\:x+k=0\]が \(1+i\) を解にもつように定数 \(k\) の値を定め、もう1つの解を求めてください。
 

AG-15 のヒント

 解の1つがわかっているので、それを代入すれば良いのですけど、 \(k\) をどう置くかがポイントです。

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問題 AG-15 の解答

 \(k\) は実数とは書いていないので、複素数として
 
\[k=a+bi\]
とおいて方程式に代入します。
 
\[x^2-(1+3i)x+a+bi=0\]
 解の1つ \(1+i\) を代入して整理すると
 
\[a+2+(b-2)\:i=0\]
となるので、 \(a=-2,\:b=2\) すなわち \(k=-2+2\:i\) を得ます。よって方程式は
 
\[x^2-(1+3i)x-2+2\:i=0\]
となり、解の公式によって
 
\[x=\frac{1}{2}\: \{ 1+3\:i \pm \sqrt{-2\:i} \}\]
となります。ここで \((1-i)^2=-2\:i\) より解は
 
\[x=1+i,\quad 2\:i\]
となります。

補足 虚数の平方根

 最後のほうで √ の中に虚数単位が現れたので、慣れていないと処理に困るかもしれません。 \((1-i)^2=-2\:i\) という計算式をすぐに思いつかない場合は、\(1+i\) という1つの解が予めわかっているので、\(\sqrt{-2\:i}=\sqrt{D}\) とおいて、

\[\frac{1}{2}\: \{ 1+3\:i \pm \sqrt{D} \}=1+i\]
という式から

\[\sqrt{D}=\pm (1-i)\]
を得ることができます。
 
 

AG-16 他の解の平方となるように実数 k の値を定めます

 2次方程式

\[x^2+kx-k=0 \quad (k\neq0)\]の1つの解が他の解の平方になるように実数 \(k\) の値を定めてください。

AG-16 のヒント

 2つの解を設定したあとに、そのまま方程式に代入したりすると大変面倒なことになります。別の方法を考えてみましょう。

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AG-16 の解答

 2解を \(\alpha,\:\alpha^2\) とおくと解と係数の関係より
 
\[\alpha+\alpha^2=-k,\quad \alpha^3=-k\]
となるので、
 
\[\alpha+\alpha^2=\alpha^3\]
とおくことができます。すなわち
 
\[\alpha(\alpha^2-\alpha-1)=0\]
という \(\alpha\) についての方程式を解けばよいのですが、 \(k\neq0\) という条件があるので \(\alpha=0\) は適しません。よって
 
\[\alpha^2-\alpha-1=0\]
の2解である
 
\[\alpha=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\]
が条件を満たすことになります。よって
 
\[k=-\alpha-\alpha^2\]
によって求めることができますが、\(\alpha^2-\alpha-1=0\) の関係を使うことで
 
\[k=-\alpha-\alpha-1=-2\alpha-1=-2\pm\sqrt{5}\]
と楽に計算することができます。 ≫ 数学演習問題

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