Excel VBA 数学教室ではアフィリエイトプログラムを利用して商品を紹介しています。

命題の否定が成立しないことを示します

【AG14】少なくとも1つの実数解をもつことの証明

実係数をもつ3つの方程式
\[\begin{align*}ax^2+2bx+c=0\qquad \qquad (1)\\[6pt]bx^2+2cx+a=0\qquad \qquad (2)\\[6pt]cx^2+2ax+b=0\qquad \qquad(3)\end{align*}\]のうち、少なくとも1つは実数解をもつことを証明してください。(広島大一部改)
 
【ヒント】命題の否定が成立しないことを示します。「少なくとも1つは実数解をもつ」の否定命題は?

【解答】背理法を用います。「3つの方程式のうち少なくとも1つは実数解をもつ」の否定命題は「3つの方程式が全て虚数解をもつ」です。これを真実だと仮定します。それぞれの方程式の判別式を $D_1/4,\ D_2/4,\ D_3/4$ とおくと
 \[\begin{align*}\frac{D_1}{4}=b^2-ac \lt 0\\[6pt]\frac{D_2}{4}=c^2-ab \lt 0\\[6pt]\frac{D_3}{4}=a^2-bc \lt 0\end{align*}\]
が全て成立しているはずです。全て加えると
 \[\frac{1}{4}\:(D_1+D_2+D_3)\lt 0\]
となるはずですが、実際に計算すると
 \[\begin{align*}\frac{1}{4}(D_1+D_2+D_3)=&\:a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\\[6pt]=&\:\frac{1}{2}\:\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \}\geq 0\end{align*}\]
となって矛盾しています。したがって方程式 (1), (2), (3) のうち少なくとも1つは実数解をもつことが証明されました。

【AG15】係数に複素数を含む二次方程式

二次方程式
\[x^2-(1+3\:i)\:x+k=0\]が $1+i$ を解にもつように定数 $k$ の値を定め、もう1つの解を求めてください。
 
【ヒント】解の1つがわかっているので、それを代入すれば良いのですけど、$k$ をどう置くかがポイントです。

1冊でマスター 大学の統計学

新品価格
¥2,728から
(2022/7/15 14:37時点)

【解答】\(k\) は実数とは書いていないので、複素数として
 \[k=a+bi\]
とおいて方程式に代入します。
 \[x^2-(1+3i)x+a+bi=0\]
解の1つ \(1+i\) を代入して整理すると
 \[a+2+(b-2)\:i=0\]
となるので、$a=-2,\:b=2$ すなわち $k=-2+2\:i$ を得ます。よって方程式は
 \[x^2-(1+3i)x-2+2\:i=0\]
となり、解の公式によって
 \[x=\frac{1}{2}\:\{1+3\:i\pm\sqrt{-2\:i}\}\]
となります。ここで $(1-i)^2=-2\:i$ より解は
 \[x=1+i,\quad 2\:i\]
となります。

【補足】最後のほうで √ の中に虚数単位が現れたので、慣れていないと処理に困るかもしれません。$(1-i)^2=-2\:i$ という計算式をすぐに思いつかない場合は、$1+i$ という1つの解が予めわかっているので、$\sqrt{-2\:i}=\sqrt{D}$ とおいて、
 \[\frac{1}{2}\:\{ 1+3\:i\pm \sqrt{D}\}=1+i\]
という式から
 \[\sqrt{D}=\pm(1-i)\]
を得ることができます。

【AG16】他の解の平方となるように実数kの値を定めます

二次方程式
\[x^2+kx-k=0\quad (k\neq0)\]の1つの解が他の解の平方になるように実数 $k$ の値を定めてください。
 
【ヒント】2つの解を設定したあとに、そのまま方程式に代入したりすると大変面倒なことになります。別の方法を考えてみましょう。 

数学 ベクトル 分野別標準問題精講

新品価格
¥1,430から
(2022/7/14 21:10時点)

【解答】2解を $\alpha,\:\alpha^2$ とおくと解と係数の関係より
 \[\alpha+\alpha^2=-k,\quad\alpha^3=-k\]
となるので、
 \[\alpha+\alpha^2=\alpha^3\]
とおくことができます。すなわち
 \[\alpha(\alpha^2-\alpha-1)=0\]
という \(\alpha\) についての方程式を解けばよいのですが、$k\neq 0$ という条件があるので、$\alpha=0$ は適しません。よって
 \[\alpha^2-\alpha-1=0\]
の2解である
 \[\alpha=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\]
が条件を満たすことになります。よって
 \[k=-\alpha-\alpha^2\]
によって求めることができますが、$\alpha^2-\alpha-1=0$ の関係を使うことで
 \[k=-\alpha-\alpha-1=-2\alpha-1=-2\pm\sqrt{5}\]
と楽に計算することができます。

エクセルや数学に関するコメントをお寄せください