試行錯誤しながら規則性を見つけて数字を当てます

【SQ01】規則性を見つけて数字を当てます

以下の数列の (a)～(e) に入る数字を答えてください。
[1] $1,\:4,\:7,\:(\mathrm{a}),\:13,\:16,\:19,\:22,\:25,\:\cdots$
[2] $1,\:1,\:2,\:3,\:5,\:8,\:(\mathrm{b}),\:21,\:34,\:\cdots$
[3] $1,\:4,\:9,\:16,\:(\mathrm{c}),\:36,\:49,\:64,\:81,\:\cdots$
[4] $2,\:6,\:12,\:20,\:30,\:(\mathrm{d}),\:56,\:72,\:90,\:\cdots$
[5] $1,\:4,\:2,\:(\mathrm{e}),\:4,\:1,\:0,\:1,\:4,\:\cdots$

【ヒント】
[1], [2], [3] はやさしいでしょう。
[4] も数列の問題ではよく現れる形です。
[5] は超難問です。発想を変えて試行錯誤しなければなりません。
ヒントを１つだけ。[5] の数列は平方数に関係しています。
　
【解答】[1] 前の項に $3$ を足して得られる等差数列です。(a) には $10$ が入ります。

[2] 前の $2$ つの項を足して次の項が作られています。いわゆるフィボナッチ数列です。第 $3$ 項から
\[\begin{align*}&1+1=2\\[6pt]&1+2=3\\[6pt]&2+3=5\\[6pt]&3+5=8\\[6pt]&5+8=13\end{align*}\]
となって、(b) は $13$ となります。

[3] 自然数を $2$ 乗した数、つまり平方数が並んでいます。
\[1^2,\:2^2,\:3^2,\:4^2,\:5^2,\:\cdots\]
よって、(c) には $25$ が入ります。

[4] 各項は次のような積に分解することができます。
\[1\cdot 2,\:2\cdot 3,\:3\cdot 4,\:4\cdot 5,\:5\cdot 6,\:6\cdot 7,\:\cdots\]
したがって、(d) には $42$ が入ります。

[5] この数列は [3] の平方数列に関係しています。平方数列をもう１度並べます。

\[1,\:4,\:9,\:16,\:25,\:36,\:49,\:64,\:81,\:\cdots\]
これを $7$ で割った余りを並べてみると

\[1,\:4,\:2,\:2,\:4,\:1,\:0,\:1,\:4,\:\cdots\]
というような循環数列が得られます。したがって、(e) には $2$ が入ります。

【SQ02】抜け落ちている？

(a) と (b) に入る数字を答えてください。
\[1,\:16,\:36,\:(\mathrm{a}),\:81,\:100,\:(\mathrm{b}),\:196,\:225,\:256,\:\cdots\]
【ヒント】どの数字も平方数であることはすぐにわかりますが、全ての平方数が並んでいるわけではありません。一部が抜け落ちているので、その抜け落ち方の規則を見つけることが問題を解く鍵となります。
　
【解答】問題の数列は
\[1^2,\:4^2,\:6^2,\:(\mathrm{a}),\:9^2,\:10^2,\:(\mathrm{b}),\:14^2,\:15^2,\:\cdots\]
となっています。平方数が並んでいますが、
\[2^2,\:3^2,\:5^2\]
などが抜けています。このあたりで直感をはたらかせて「もしかして素数？」とひらめいてみるわけです。素数を小さいほうから並べてみると
\[2,\:3,\:5,\:7,\:11,\:13,\:17,\:19,\:\cdots\]
となっています。そこで自然数の列
\[1,\:2,\:3,\:4,\:5,\:6,\:7,\:8,\:9,\:10,\:11,\:12,\:13\cdots\]
から素数を抜いた数列をつくってみると
\[1,\:4,\:6,\:8,\:9,\:10,\:12,\:14,\:15,\:\cdots\]
となります。つまり問題の数列は自然数の平方数から、素数の平方数だけを抜いて並べていたことがわかります。よって (a) には $8^2=64$, (b) には $12^2=144$ が入ります。

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【SQ03】0 と 1 だけが並ぶ数列

　(a) と (b) に入る数字を答えてください。
\[1,\:1,\:0,\:1,\:1,\:1,\:0,\:0,\:1,\:0,\:1,\:(\mathrm{a}),\:1,\:(\mathrm{b}),\:1,\:1,\:1,\:…\]
【ヒント】0 と 1 ばかり並んでいるということは …
　
【解答】$0$ と $1$ といえば二進数です。$1,\:2,\:3,\:4,\:5,\:6,\:7$ を二進数表記に直してみると次のようになります。

$1,\:2,\:3,\:4,\:5,\:6,\:7,\:\cdots$ の二進数表記
\[1,\:10,\:11,\:100,\:101,\:110,\:111,\:\cdots\]
の各桁をばらばらにして並べると、
\[1,\:1,\:0,\:1,\:1,\:1,\:0,\:0,\:1,\:0,\:1,\:1,\:1,\:0,\:1,\:1,\:1\cdots\]
となります。したがって (a) には $1$, (b) には $0$ が入ります。

【SQ04】分数が並んでいます

(a) に入る数字を答えてください。
\[1,\:\frac{3}{2},\:\frac{11}{6},\:\frac{25}{12},\:\frac{137}{60},\:(\mathrm{a}),\:\frac{363}{140},\:\cdots\]
【ヒント】前の項に何かを足しています。
　
【解答】第 $2$ 項では第 $1$ 項に $1/2$ を足し、第 $3$ 項では第 $2$ 項に $1/3$ を足して … ということを繰り返しています。つまり $a_{n+1}=a_n+1/n$ という数列です。頑張って計算していくと
\[\begin{align*}&a_1=1\\[6pt]&a_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\\[6pt]&a_3=\frac{3}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}\\[6pt]&a_4=\frac{11}{6}+\frac{1}{4}=\frac{25}{12}\\[6pt]&a_5=\frac{25}{12}+\frac{1}{5}=\frac{137}{60}\\[6pt]&a_6=\frac{137}{60}+\frac{1}{6}=\frac{49}{20}\\[6pt]&a_7=\frac{49}{20}+\frac{1}{7}=\frac{363}{140}\\[6pt]&\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\end{align*}\]
となるので、(a) には $49/20$ が入ります。