規則性を見つけて数字を当てます



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問題 SQ-01 規則性を見つけて数字を当てます

 以下の数列の (a) ~ (e) に入る数字を答えてください。

 [1] $1,\:4,\:7,\:(\mathrm{a}),\:13,\:16,\:19,\:22,\:25,\:\cdots$

 [2] $1,\:1,\:2,\:3,\:5,\:8,\:(\mathrm{b}),\:21,\:34,\:\cdots$

 [3] $1,\:4,\:9,\:16,\:(\mathrm{c}),\:36,\:49,\:64,\:81,\:\cdots$

 [4] $2,\:6,\:12,\:20,\:30,\:(\mathrm{d}),\:56,\:72,\:90,\:\cdots$

 [5] $1,\:4,\:2,\:(\mathrm{e}),\:4,\:1,\:0,\:1,\:4,\:\cdots$
 

SQ-01 のヒント

 [1], [2], [3] はやさしいでしょう。
 [4] も数列の問題ではよく現れる形です。
 [5] は超難問です。発想を変えて試行錯誤しなければなりません。
 ヒントを1つだけ。[5] の数列は平方数に関係しています。
 

SQ-01 の解答

[1] 前の項に $3$ を足して得られる等差数列です。(a) には $10$ が入ります。

[2] 前の $2$ つの項を足して次の項が作られています。
  いわゆるフィボナッチ数列です。第 $3$ 項から
 
\[\begin{align*}&1+1=2\\[6pt]
&1+2=3\\[6pt]
&2+3=5\\[6pt]
&3+5=8\\[6pt]
&5+8=13\end{align*}\]
となって、(b) は $13$ となります。

[3] 自然数を $2$ 乗した数、つまり平方数が並んでいます。
 
\[1^2,\:2^2,\:3^2,\:4^2,\:5^2,\:\cdots\]
 よって、(c) には $25$ が入ります。

[4] 各項は次のような積に分解することができます。
 
\[1\cdot 2,\:2\cdot 3,\:3\cdot 4,\:4\cdot 5,\:5\cdot 6,\:6\cdot 7,\:\cdots\]
 したがって、(d) には $42$ が入ります。

[5] この数列は [3] の平方数列に関係しています。
  平方数列をもう1度並べます。
 
\[1,\:4,\:9,\:16,\:25,\:36,\:49,\:64,\:81,\:\cdots\]
 これを $7$ で割った余りを並べてみると
 
\[1,\:4,\:2,\:2,\:4,\:1,\:0,\:1,\:4,\:\cdots\]
というような循環数列が得られます。したがって、(e) には $2$ が入ります。
 
 

問題 SQ-02 抜け落ちている?

 (a) と (b) に入る数字を答えてください。
\[1,\:16,\:36,\:(\mathrm{a}),\:81,\:100,\:(\mathrm{b}),\:196,\:225,\:256,\:\cdots\]
 

SQ-02 のヒント

 どの数字も平方数であることはすぐにわかりますが、全ての平方数が並んでいるわけではありません。一部が抜け落ちているので、その「抜け落ち方」の規則を見つけることが問題を解く鍵となります。
 

解答 SQ-02

 問題の数列は
 
\[1^2,\:4^2,\:6^2,\:(\mathrm{a}),\:9^2,\:10^2,\:(\mathrm{b}),\:14^2,\:15^2,\:\cdots\]
となっています。平方数が並んでいますが、
 
\[2^2,\:3^2,\:5^2\]
などが抜けています。このあたりで直感をはたらかせて「もしかして素数?」とひらめいてみるわけです。素数を小さいほうから並べてみると
 
\[2,\:3,\:5,\:7,\:11,\:13,\:17,\:19,\:\cdots\]
となっています。そこで自然数の列
 
\[1,\:2,\:3,\:4,\:5,\:6,\:7,\:8,\:9,\:10,\:11,\:12,\:13\cdots\]
から素数を抜いた数列をつくってみると
 
\[1,\:4,\:6,\:8,\:9,\:10,\:12,\:14,\:15,\:\cdots\]
となります。つまり問題の数列は自然数の平方数から、素数の平方数だけを抜いて並べていたことがわかります。よって (a) には $8^2=64$, (b) には $12^2=144$ が入ります。
 
 

問題 SQ-03 0 と 1 だけが並ぶ数列

 (a) と (b) に入る数字を答えてください。
\[1,\:1,\:0,\:1,\:1,\:1,\:0,\:0,\:1,\:0,\:1,\:(\mathrm{a}),\:1,\:(\mathrm{b}),\:1,\:1,\:1,\:...\]
 

SQ-03 のヒント

 0 と 1 ばかり並んでいるということは ......
 

解答 SQ-03

 $0$ と $1$ といえば二進数です。
 $1,\:2,\:3,\:4,\:5,\:6,\:7$ を二進数表記に直してみると次のようになります。

十進法 二進法
$1$ $1$
$2$ $10$
$3$ $11$
$4$ $100$
$5$ $101$
$6$ $110$
$7$ $111$

 $1,\:2,\:3,\:4,\:5,\:6,\:7,\:\cdots$ の二進数表記
 
\[1,\:10,\:11,\:100,\:101,\:110,\:111,\:\cdots\]
の各桁をばらばらにして並べると、
 
\[1,\:1,\:0,\:1,\:1,\:1,\:0,\:0,\:1,\:0,\:1,\:1,\:1,\:0,\:1,\:1,\:1\cdots\]
となります。したがって (a) には $1$, (b) には $0$ が入ります。
 

問題 SQ-04 分数が並んでいます

 (a) に入る数字を答えてください。
\[1,\:\frac{3}{2},\:\frac{11}{6},\:\frac{25}{12},\:\frac{137}{60},\:(\mathrm{a}),\:\frac{363}{140},\:\cdots\]
 

SQ-04 のヒント

 前の項に何かを足しています。
 

解答 SQ-04

 第 $2$ 項では第 $1$ 項に $1/2$ を足し、第 $3$ 項では第 $2$ 項に $1/3$ を足して ...... ということを繰り返しています。つまり $a_{n+1}=a_n+1/n$ という数列です。頑張って計算していくと
 
\[\begin{align*}&a_1=1\\[6pt]
&a_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\\[6pt]
&a_3=\frac{3}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}\\[6pt]
&a_4=\frac{11}{6}+\frac{1}{4}=\frac{25}{12}\\[6pt]
&a_5=\frac{25}{12}+\frac{1}{5}=\frac{137}{60}\\[6pt]
&a_6=\frac{137}{60}+\frac{1}{6}=\frac{49}{20}\\[6pt]
&a_7=\frac{49}{20}+\frac{1}{7}=\frac{363}{140}\\[6pt]
&\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\end{align*}\]
となるので、(a) には $49/20$ が入ります。

 ≫ [問題05] 3 または 5 で割り切れる数の総和

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